Giải tích Ví dụ

$\int_{1}^{9} x - \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Bước 1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{1}^{9} x d x + \int_{1}^{9} - \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Bước 2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{9} + \int_{1}^{9} - \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Bước 3

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{9} - \int_{1}^{9} \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Bước 4

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{9} - \int_{1}^{9} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Bước 4.2

Di chuyển $x^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{9} - \int_{1}^{9} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Bước 4.3

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{9} - \int_{1}^{9} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Bước 4.3.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{9} - \int_{1}^{9} x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Bước 4.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{9} - \int_{1}^{9} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{- \frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{9} - (2 x^{\frac{1}{2}}]_{1}^{9})$

Bước 6

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tính $\frac{1}{2} x^{2}$ tại $9$ và tại $1$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 9^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - (2 x^{\frac{1}{2}}]_{1}^{9})$

Bước 6.2

Tính $2 x^{\frac{1}{2}}$ tại $9$ và tại $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Bước 6.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Nâng $9$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot 81 - \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Bước 6.3.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $81$ .

$\frac{81}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Bước 6.3.3

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{81}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1 - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Bước 6.3.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{81}{2} - \frac{1}{2} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Bước 6.3.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{81 - 1}{2} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Bước 6.3.6

Trừ $1$ khỏi $81$ .

$\frac{80}{2} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Bước 6.3.7

Triệt tiêu thừa số chung của $80$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.7.1

Đưa $2$ ra ngoài $80$ .

$\frac{2 \cdot 40}{2} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Bước 6.3.7.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.7.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 \cdot 40}{2 (1)} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Bước 6.3.7.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 40}{2 \cdot 1} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Bước 6.3.7.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{40}{1} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Bước 6.3.7.2.4

Chia $40$ cho $1$ .

$40 - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Bước 6.3.8

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$40 - (2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Bước 6.3.9

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$40 - (2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Bước 6.3.10

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.10.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$40 - (2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Bước 6.3.10.2

Viết lại biểu thức.

$40 - (2 \cdot 3^{1} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Bước 6.3.11

Tính số mũ.

$40 - (2 \cdot 3 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Bước 6.3.12

Nhân $2$ với $3$ .

$40 - (6 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Bước 6.3.13

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$40 - (6 - 2 \cdot 1)$

Bước 6.3.14

Nhân $- 2$ với $1$ .

$40 - (6 - 2)$

Bước 6.3.15

Trừ $2$ khỏi $6$ .

$40 - 1 \cdot 4$

Bước 6.3.16

Nhân $- 1$ với $4$ .

$40 - 4$

Bước 6.3.17

Trừ $4$ khỏi $40$ .

$36$

Bước 7