Giải tích Ví dụ

$\int 1 + \cos^{2} (t) d t$

Bước 1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int d t + \int \cos^{2} (t) d t$

Bước 2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$t + C + \int \cos^{2} (t) d t$

Bước 3

Sử dụng công thức góc chia đôi để viết lại $\cos^{2} (t)$ ở dạng $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$t + C + \int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Bước 4

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$t + C + \frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Bước 5

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$t + C + \frac{1}{2} (\int d t + \int \cos (2 t) d t)$

Bước 6

Áp dụng quy tắc hằng số.

$t + C + \frac{1}{2} (t + C + \int \cos (2 t) d t)$

Bước 7

Giả sử $u = 2 t$ . Sau đó $d u = 2 d t$ , nên $\frac{1}{2} d u = d t$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Hãy đặt $u = 2 t$ . Tìm $\frac{d u}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Tính đạo hàm $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Bước 7.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $2 t$ đối với $t$ là $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Bước 7.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 7.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 7.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$t + C + \frac{1}{2} (t + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Bước 8

Kết hợp $\cos (u)$ và $\frac{1}{2}$ .

$t + C + \frac{1}{2} (t + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Bước 9

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$t + C + \frac{1}{2} (t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Bước 10

Tích phân của $\cos (u)$ đối với $u$ là $\sin (u)$ .

$t + C + \frac{1}{2} (t + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Bước 11

Rút gọn.

$t + \frac{1}{2} (t + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Bước 12

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 t$ .

$t + \frac{1}{2} (t + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

Bước 13

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\sin (2 t)$ .

$t + \frac{1}{2} (t + \frac{\sin (2 t)}{2}) + C$

Bước 13.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$t + \frac{1}{2} t + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 t)}{2} + C$

Bước 13.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $t$ .

$t + \frac{t}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 t)}{2} + C$

Bước 13.4

Nhân $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 t)}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.4.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{\sin (2 t)}{2}$ .

$t + \frac{t}{2} + \frac{\sin (2 t)}{2 \cdot 2} + C$

Bước 13.4.2

Nhân $2$ với $2$ .

$t + \frac{t}{2} + \frac{\sin (2 t)}{4} + C$

Bước 14

Sắp xếp lại các số hạng.

$t + \frac{1}{2} t + \frac{1}{4} \sin (2 t) + C$