Giải tích Ví dụ

$\int_{1}^{64} \frac{3 + \sqrt[3]{x}}{\sqrt{x}} d x$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\int_{1}^{64} \frac{3 + x^{\frac{1}{3}}}{\sqrt{x}} d x$

Bước 2

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{64} \frac{3 + x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Bước 3

Di chuyển $x^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\int_{1}^{64} (3 + x^{\frac{1}{3}}) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Bước 4

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{64} (3 + x^{\frac{1}{3}}) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Bước 4.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$\int_{1}^{64} (3 + x^{\frac{1}{3}}) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Bước 4.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int_{1}^{64} (3 + x^{\frac{1}{3}}) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int_{1}^{64} 3 x^{- \frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{3}} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Bước 5.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int_{1}^{64} 3 x^{- \frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{3} - \frac{1}{2}} d x$

Bước 5.3

Để viết $\frac{1}{3}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\int_{1}^{64} 3 x^{- \frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}} d x$

Bước 5.4

Để viết $- \frac{1}{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\int_{1}^{64} 3 x^{- \frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}} d x$

Bước 5.5

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $6$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Nhân $\frac{1}{3}$ với $\frac{2}{2}$ .

$\int_{1}^{64} 3 x^{- \frac{1}{2}} + x^{\frac{2}{3 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}} d x$

Bước 5.5.2

Nhân $3$ với $2$ .

$\int_{1}^{64} 3 x^{- \frac{1}{2}} + x^{\frac{2}{6} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}} d x$

Bước 5.5.3

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{3}{3}$ .

$\int_{1}^{64} 3 x^{- \frac{1}{2}} + x^{\frac{2}{6} - \frac{3}{2 \cdot 3}} d x$

Bước 5.5.4

Nhân $2$ với $3$ .

$\int_{1}^{64} 3 x^{- \frac{1}{2}} + x^{\frac{2}{6} - \frac{3}{6}} d x$

Bước 5.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\int_{1}^{64} 3 x^{- \frac{1}{2}} + x^{\frac{2 - 3}{6}} d x$

Bước 5.7

Trừ $3$ khỏi $2$ .

$\int_{1}^{64} 3 x^{- \frac{1}{2}} + x^{\frac{- 1}{6}} d x$

Bước 6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int_{1}^{64} 3 x^{- \frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{6}} d x$

Bước 7

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{1}^{64} 3 x^{- \frac{1}{2}} d x + \int_{1}^{64} x^{- \frac{1}{6}} d x$

Bước 8

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$3 \int_{1}^{64} x^{- \frac{1}{2}} d x + \int_{1}^{64} x^{- \frac{1}{6}} d x$

Bước 9

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{- \frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 (2 x^{\frac{1}{2}}]_{1}^{64}) + \int_{1}^{64} x^{- \frac{1}{6}} d x$

Bước 10

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{- \frac{1}{6}}$ đối với $x$ là $\frac{6}{5} x^{\frac{5}{6}}$ .

$3 (2 x^{\frac{1}{2}}]_{1}^{64}) + \frac{6}{5} x^{\frac{5}{6}}]_{1}^{64}$

Bước 11

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Tính $2 x^{\frac{1}{2}}$ tại $64$ và tại $1$ .

$3 ((2 \cdot 64^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}) + \frac{6}{5} x^{\frac{5}{6}}]_{1}^{64}$

Bước 11.2

Tính $\frac{6}{5} x^{\frac{5}{6}}$ tại $64$ và tại $1$ .

$3 (2 \cdot 64^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}) + \frac{6}{5} \cdot 64^{\frac{5}{6}} - \frac{6}{5} \cdot 1^{\frac{5}{6}}$

Bước 11.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1

Viết lại $64$ ở dạng $8^{2}$ .

$3 (2 \cdot {(8^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}) + \frac{6}{5} \cdot 64^{\frac{5}{6}} - \frac{6}{5} \cdot 1^{\frac{5}{6}}$

Bước 11.3.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 (2 \cdot 8^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}) + \frac{6}{5} \cdot 64^{\frac{5}{6}} - \frac{6}{5} \cdot 1^{\frac{5}{6}}$

Bước 11.3.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$3 (2 \cdot 8^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}) + \frac{6}{5} \cdot 64^{\frac{5}{6}} - \frac{6}{5} \cdot 1^{\frac{5}{6}}$

Bước 11.3.3.2

Viết lại biểu thức.

$3 (2 \cdot 8^{1} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}) + \frac{6}{5} \cdot 64^{\frac{5}{6}} - \frac{6}{5} \cdot 1^{\frac{5}{6}}$

Bước 11.3.4

Tính số mũ.

$3 (2 \cdot 8 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}) + \frac{6}{5} \cdot 64^{\frac{5}{6}} - \frac{6}{5} \cdot 1^{\frac{5}{6}}$

Bước 11.3.5

Nhân $2$ với $8$ .

$3 (16 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}) + \frac{6}{5} \cdot 64^{\frac{5}{6}} - \frac{6}{5} \cdot 1^{\frac{5}{6}}$

Bước 11.3.6

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$3 (16 - 2 \cdot 1) + \frac{6}{5} \cdot 64^{\frac{5}{6}} - \frac{6}{5} \cdot 1^{\frac{5}{6}}$

Bước 11.3.7

Nhân $- 2$ với $1$ .

$3 (16 - 2) + \frac{6}{5} \cdot 64^{\frac{5}{6}} - \frac{6}{5} \cdot 1^{\frac{5}{6}}$

Bước 11.3.8

Trừ $2$ khỏi $16$ .

$3 \cdot 14 + \frac{6}{5} \cdot 64^{\frac{5}{6}} - \frac{6}{5} \cdot 1^{\frac{5}{6}}$

Bước 11.3.9

Nhân $3$ với $14$ .

$42 + \frac{6}{5} \cdot 64^{\frac{5}{6}} - \frac{6}{5} \cdot 1^{\frac{5}{6}}$

Bước 11.3.10

Viết lại $64$ ở dạng $2^{6}$ .

$42 + \frac{6}{5} \cdot {(2^{6})}^{\frac{5}{6}} - \frac{6}{5} \cdot 1^{\frac{5}{6}}$

Bước 11.3.11

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$42 + \frac{6}{5} \cdot 2^{6 (\frac{5}{6})} - \frac{6}{5} \cdot 1^{\frac{5}{6}}$

Bước 11.3.12

Triệt tiêu thừa số chung $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.12.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$42 + \frac{6}{5} \cdot 2^{6 (\frac{5}{6})} - \frac{6}{5} \cdot 1^{\frac{5}{6}}$

Bước 11.3.12.2

Viết lại biểu thức.

$42 + \frac{6}{5} \cdot 2^{5} - \frac{6}{5} \cdot 1^{\frac{5}{6}}$

Bước 11.3.13

Nâng $2$ lên lũy thừa $5$ .

$42 + \frac{6}{5} \cdot 32 - \frac{6}{5} \cdot 1^{\frac{5}{6}}$

Bước 11.3.14

Kết hợp $\frac{6}{5}$ và $32$ .

$42 + \frac{6 \cdot 32}{5} - \frac{6}{5} \cdot 1^{\frac{5}{6}}$

Bước 11.3.15

Nhân $6$ với $32$ .

$42 + \frac{192}{5} - \frac{6}{5} \cdot 1^{\frac{5}{6}}$

Bước 11.3.16

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$42 + \frac{192}{5} - \frac{6}{5} \cdot 1$

Bước 11.3.17

Nhân $- 1$ với $1$ .

$42 + \frac{192}{5} - \frac{6}{5}$

Bước 11.3.18

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$42 + \frac{192 - 6}{5}$

Bước 11.3.19

Trừ $6$ khỏi $192$ .

$42 + \frac{186}{5}$

Bước 11.3.20

Để viết $42$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{5}{5}$ .

$42 \cdot \frac{5}{5} + \frac{186}{5}$

Bước 11.3.21

Kết hợp $42$ và $\frac{5}{5}$ .

$\frac{42 \cdot 5}{5} + \frac{186}{5}$

Bước 11.3.22

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{42 \cdot 5 + 186}{5}$

Bước 11.3.23

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.23.1

Nhân $42$ với $5$ .

$\frac{210 + 186}{5}$

Bước 11.3.23.2

Cộng $210$ và $186$ .

$\frac{396}{5}$

Bước 12

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{396}{5}$

Dạng thập phân:

$79.2$

Dạng hỗn số:

$79 \frac{1}{5}$

Bước 13