Giải tích Ví dụ

$\int_{1}^{7} t^{3} - 10 t^{2} + 27 t - 18 d t$

Bước 1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{1}^{7} t^{3} d t + \int_{1}^{7} - 10 t^{2} d t + \int_{1}^{7} 27 t d t + \int_{1}^{7} - 18 d t$

Bước 2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $t^{3}$ đối với $t$ là $\frac{1}{4} t^{4}$ .

$\frac{1}{4} t^{4}]_{1}^{7} + \int_{1}^{7} - 10 t^{2} d t + \int_{1}^{7} 27 t d t + \int_{1}^{7} - 18 d t$

Bước 3

Vì $- 10$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $- 10$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{4} t^{4}]_{1}^{7} - 10 \int_{1}^{7} t^{2} d t + \int_{1}^{7} 27 t d t + \int_{1}^{7} - 18 d t$

Bước 4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $t^{2}$ đối với $t$ là $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$\frac{1}{4} t^{4}]_{1}^{7} - 10 (\frac{1}{3} t^{3}]_{1}^{7}) + \int_{1}^{7} 27 t d t + \int_{1}^{7} - 18 d t$

Bước 5

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $t^{3}$ .

$\frac{1}{4} t^{4}]_{1}^{7} - 10 (\frac{t^{3}}{3}]_{1}^{7}) + \int_{1}^{7} 27 t d t + \int_{1}^{7} - 18 d t$

Bước 6

Vì $27$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $27$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{4} t^{4}]_{1}^{7} - 10 (\frac{t^{3}}{3}]_{1}^{7}) + 27 \int_{1}^{7} t d t + \int_{1}^{7} - 18 d t$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $t$ đối với $t$ là $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$\frac{1}{4} t^{4}]_{1}^{7} - 10 (\frac{t^{3}}{3}]_{1}^{7}) + 27 (\frac{1}{2} t^{2}]_{1}^{7}) + \int_{1}^{7} - 18 d t$

Bước 8

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $t^{2}$ .

$\frac{1}{4} t^{4}]_{1}^{7} - 10 (\frac{t^{3}}{3}]_{1}^{7}) + 27 (\frac{t^{2}}{2}]_{1}^{7}) + \int_{1}^{7} - 18 d t$

Bước 9

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{4} t^{4}]_{1}^{7} - 10 (\frac{t^{3}}{3}]_{1}^{7}) + 27 (\frac{t^{2}}{2}]_{1}^{7}) + - 18 t]_{1}^{7}$

Bước 10

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Kết hợp $\frac{1}{4} t^{4}]_{1}^{7}$ và $- 18 t]_{1}^{7}$ .

$\frac{1}{4} t^{4} - 18 t]_{1}^{7} - 10 (\frac{t^{3}}{3}]_{1}^{7}) + 27 (\frac{t^{2}}{2}]_{1}^{7})$

Bước 10.2

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Tính $\frac{1}{4} t^{4} - 18 t$ tại $7$ và tại $1$ .

$(\frac{1}{4} \cdot 7^{4} - 18 \cdot 7) - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 18 \cdot 1) - 10 (\frac{t^{3}}{3}]_{1}^{7}) + 27 (\frac{t^{2}}{2}]_{1}^{7})$

Bước 10.2.2

Tính $\frac{t^{3}}{3}$ tại $7$ và tại $1$ .

$(\frac{1}{4} \cdot 7^{4} - 18 \cdot 7) - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 18 \cdot 1) - 10 ((\frac{7^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{t^{2}}{2}]_{1}^{7})$

Bước 10.2.3

Tính $\frac{t^{2}}{2}$ tại $7$ và tại $1$ .

$(\frac{1}{4} \cdot 7^{4} - 18 \cdot 7) - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 18 \cdot 1) - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Bước 10.2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.4.1

Nâng $7$ lên lũy thừa $4$ .

$\frac{1}{4} \cdot 2401 - 18 \cdot 7 - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 18 \cdot 1) - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Bước 10.2.4.2

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $2401$ .

$\frac{2401}{4} - 18 \cdot 7 - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 18 \cdot 1) - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Bước 10.2.4.3

Nhân $- 18$ với $7$ .

$\frac{2401}{4} - 126 - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 18 \cdot 1) - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Bước 10.2.4.4

Để viết $- 126$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2401}{4} - 126 \cdot \frac{4}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 18 \cdot 1) - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Bước 10.2.4.5

Kết hợp $- 126$ và $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2401}{4} + \frac{- 126 \cdot 4}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 18 \cdot 1) - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Bước 10.2.4.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2401 - 126 \cdot 4}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 18 \cdot 1) - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Bước 10.2.4.7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.4.7.1

Nhân $- 126$ với $4$ .

$\frac{2401 - 504}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 18 \cdot 1) - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Bước 10.2.4.7.2

Trừ $504$ khỏi $2401$ .

$\frac{1897}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 18 \cdot 1) - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Bước 10.2.4.8

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{1897}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 1 - 18 \cdot 1) - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Bước 10.2.4.9

Nhân $\frac{1}{4}$ với $1$ .

$\frac{1897}{4} - (\frac{1}{4} - 18 \cdot 1) - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Bước 10.2.4.10

Nhân $- 18$ với $1$ .

$\frac{1897}{4} - (\frac{1}{4} - 18) - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Bước 10.2.4.11

Để viết $- 18$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1897}{4} - (\frac{1}{4} - 18 \cdot \frac{4}{4}) - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Bước 10.2.4.12

Kết hợp $- 18$ và $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1897}{4} - (\frac{1}{4} + \frac{- 18 \cdot 4}{4}) - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Bước 10.2.4.13

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1897}{4} - \frac{1 - 18 \cdot 4}{4} - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Bước 10.2.4.14

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.4.14.1

Nhân $- 18$ với $4$ .

$\frac{1897}{4} - \frac{1 - 72}{4} - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Bước 10.2.4.14.2

Trừ $72$ khỏi $1$ .

$\frac{1897}{4} - \frac{- 71}{4} - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Bước 10.2.4.15

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1897}{4} - - \frac{71}{4} - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Bước 10.2.4.16

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{1897}{4} + 1 (\frac{71}{4}) - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Bước 10.2.4.17

Nhân $\frac{71}{4}$ với $1$ .

$\frac{1897}{4} + \frac{71}{4} - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Bước 10.2.4.18

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1897 + 71}{4} - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Bước 10.2.4.19

Cộng $1897$ và $71$ .

$\frac{1968}{4} - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Bước 10.2.4.20

Triệt tiêu thừa số chung của $1968$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.4.20.1

Đưa $4$ ra ngoài $1968$ .

$\frac{4 \cdot 492}{4} - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Bước 10.2.4.20.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.4.20.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$\frac{4 \cdot 492}{4 (1)} - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Bước 10.2.4.20.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 \cdot 492}{4 \cdot 1} - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Bước 10.2.4.20.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{492}{1} - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Bước 10.2.4.20.2.4

Chia $492$ cho $1$ .

$492 - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Bước 10.2.4.21

Nâng $7$ lên lũy thừa $3$ .

$492 - 10 (\frac{343}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Bước 10.2.4.22

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$492 - 10 (\frac{343}{3} - \frac{1}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Bước 10.2.4.23

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$492 - 10 \frac{343 - 1}{3} + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Bước 10.2.4.24

Trừ $1$ khỏi $343$ .

$492 - 10 (\frac{342}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Bước 10.2.4.25

Triệt tiêu thừa số chung của $342$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.4.25.1

Đưa $3$ ra ngoài $342$ .

$492 - 10 \frac{3 \cdot 114}{3} + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Bước 10.2.4.25.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.4.25.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$492 - 10 \frac{3 \cdot 114}{3 (1)} + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Bước 10.2.4.25.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$492 - 10 \frac{3 \cdot 114}{3 \cdot 1} + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Bước 10.2.4.25.2.3

Viết lại biểu thức.

$492 - 10 (\frac{114}{1}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Bước 10.2.4.25.2.4

Chia $114$ cho $1$ .

$492 - 10 \cdot 114 + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Bước 10.2.4.26

Nhân $- 10$ với $114$ .

$492 - 1140 + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Bước 10.2.4.27

Trừ $1140$ khỏi $492$ .

$- 648 + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Bước 10.2.4.28

Nâng $7$ lên lũy thừa $2$ .

$- 648 + 27 (\frac{49}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Bước 10.2.4.29

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$- 648 + 27 (\frac{49}{2} - \frac{1}{2})$

Bước 10.2.4.30

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- 648 + 27 \frac{49 - 1}{2}$

Bước 10.2.4.31

Trừ $1$ khỏi $49$ .

$- 648 + 27 (\frac{48}{2})$

Bước 10.2.4.32

Triệt tiêu thừa số chung của $48$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.4.32.1

Đưa $2$ ra ngoài $48$ .

$- 648 + 27 \frac{2 \cdot 24}{2}$

Bước 10.2.4.32.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.4.32.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$- 648 + 27 \frac{2 \cdot 24}{2 (1)}$

Bước 10.2.4.32.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 648 + 27 \frac{2 \cdot 24}{2 \cdot 1}$

Bước 10.2.4.32.2.3

Viết lại biểu thức.

$- 648 + 27 (\frac{24}{1})$

Bước 10.2.4.32.2.4

Chia $24$ cho $1$ .

$- 648 + 27 \cdot 24$

Bước 10.2.4.33

Nhân $27$ với $24$ .

$- 648 + 648$

Bước 10.2.4.34

Cộng $- 648$ và $648$ .

$0$

Bước 11