Giải tích Ví dụ

$\int_{1}^{7} \frac{10 x^{2} + 9}{\sqrt{x}} d x$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{7} \frac{10 x^{2} + 9}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Bước 2

Di chuyển $x^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\int_{1}^{7} (10 x^{2} + 9) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Bước 3

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{7} (10 x^{2} + 9) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Bước 3.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$\int_{1}^{7} (10 x^{2} + 9) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Bước 3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int_{1}^{7} (10 x^{2} + 9) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Bước 4

Khai triển $(10 x^{2} + 9) x^{- \frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int_{1}^{7} 10 x^{2} x^{- \frac{1}{2}} + 9 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Bước 4.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int_{1}^{7} 10 x^{2 - \frac{1}{2}} + 9 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Bước 4.3

Để viết $2$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\int_{1}^{7} 10 x^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 9 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Bước 4.4

Kết hợp $2$ và $\frac{2}{2}$ .

$\int_{1}^{7} 10 x^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}} + 9 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Bước 4.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\int_{1}^{7} 10 x^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}} + 9 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Bước 4.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.1

Nhân $2$ với $2$ .

$\int_{1}^{7} 10 x^{\frac{4 - 1}{2}} + 9 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Bước 4.6.2

Trừ $1$ khỏi $4$ .

$\int_{1}^{7} 10 x^{\frac{3}{2}} + 9 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Bước 5

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{1}^{7} 10 x^{\frac{3}{2}} d x + \int_{1}^{7} 9 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Bước 6

Vì $10$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $10$ ra khỏi tích phân.

$10 \int_{1}^{7} x^{\frac{3}{2}} d x + \int_{1}^{7} 9 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{\frac{3}{2}}$ đối với $x$ là $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$10 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}]_{1}^{7}) + \int_{1}^{7} 9 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Bước 8

Kết hợp $\frac{2}{5}$ và $x^{\frac{5}{2}}$ .

$10 (\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}]_{1}^{7}) + \int_{1}^{7} 9 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Bước 9

Vì $9$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $9$ ra khỏi tích phân.

$10 (\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}]_{1}^{7}) + 9 \int_{1}^{7} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Bước 10

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{- \frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$10 (\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}]_{1}^{7}) + 9 (2 x^{\frac{1}{2}}]_{1}^{7})$

Bước 11

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.1

Tính $\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}$ tại $7$ và tại $1$ .

$10 ((\frac{2 \cdot 7^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5}) + 9 (2 x^{\frac{1}{2}}]_{1}^{7})$

Bước 11.1.2

Tính $2 x^{\frac{1}{2}}$ tại $7$ và tại $1$ .

$10 (\frac{2 \cdot 7^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5}) + 9 (2 \cdot 7^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Bước 11.1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.3.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$10 (\frac{2 \cdot 7^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1}{5}) + 9 (2 \cdot 7^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Bước 11.1.3.2

Nhân $2$ với $1$ .

$10 (\frac{2 \cdot 7^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2}{5}) + 9 (2 \cdot 7^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Bước 11.1.3.3

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$10 (\frac{2 \cdot 7^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2}{5}) + 9 (2 \cdot 7^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1)$

Bước 11.1.3.4

Nhân $- 2$ với $1$ .

$10 (\frac{2 \cdot 7^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2}{5}) + 9 (2 \cdot 7^{\frac{1}{2}} - 2)$

Bước 11.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$10 \frac{2 \cdot 7^{\frac{5}{2}}}{5} + 10 (- \frac{2}{5}) + 9 (2 \cdot 7^{\frac{1}{2}} - 2)$

Bước 11.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1.2.1

Đưa $5$ ra ngoài $10$ .

$5 (2) \frac{2 \cdot 7^{\frac{5}{2}}}{5} + 10 (- \frac{2}{5}) + 9 (2 \cdot 7^{\frac{1}{2}} - 2)$

Bước 11.2.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$5 \cdot 2 \frac{2 \cdot 7^{\frac{5}{2}}}{5} + 10 (- \frac{2}{5}) + 9 (2 \cdot 7^{\frac{1}{2}} - 2)$

Bước 11.2.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$2 (2 \cdot 7^{\frac{5}{2}}) + 10 (- \frac{2}{5}) + 9 (2 \cdot 7^{\frac{1}{2}} - 2)$

Bước 11.2.1.3

Nhân $2$ với $2$ .

$4 \cdot 7^{\frac{5}{2}} + 10 (- \frac{2}{5}) + 9 (2 \cdot 7^{\frac{1}{2}} - 2)$

Bước 11.2.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1.4.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{2}{5}$ vào tử số.

$4 \cdot 7^{\frac{5}{2}} + 10 (\frac{- 2}{5}) + 9 (2 \cdot 7^{\frac{1}{2}} - 2)$

Bước 11.2.1.4.2

Đưa $5$ ra ngoài $10$ .

$4 \cdot 7^{\frac{5}{2}} + 5 (2) \frac{- 2}{5} + 9 (2 \cdot 7^{\frac{1}{2}} - 2)$

Bước 11.2.1.4.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$4 \cdot 7^{\frac{5}{2}} + 5 \cdot 2 \frac{- 2}{5} + 9 (2 \cdot 7^{\frac{1}{2}} - 2)$

Bước 11.2.1.4.4

Viết lại biểu thức.

$4 \cdot 7^{\frac{5}{2}} + 2 \cdot - 2 + 9 (2 \cdot 7^{\frac{1}{2}} - 2)$

Bước 11.2.1.5

Nhân $2$ với $- 2$ .

$4 \cdot 7^{\frac{5}{2}} - 4 + 9 (2 \cdot 7^{\frac{1}{2}} - 2)$

Bước 11.2.1.6

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$4 \cdot 7^{\frac{5}{2}} - 4 + 9 (2 \cdot 7^{\frac{1}{2}}) + 9 \cdot - 2$

Bước 11.2.1.7

Nhân $2$ với $9$ .

$4 \cdot 7^{\frac{5}{2}} - 4 + 18 \cdot 7^{\frac{1}{2}} + 9 \cdot - 2$

Bước 11.2.1.8

Nhân $9$ với $- 2$ .

$4 \cdot 7^{\frac{5}{2}} - 4 + 18 \cdot 7^{\frac{1}{2}} - 18$

Bước 11.2.2

Trừ $18$ khỏi $- 4$ .

$4 \cdot 7^{\frac{5}{2}} + 18 \cdot 7^{\frac{1}{2}} - 22$

Bước 12

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$4 \cdot 7^{\frac{5}{2}} + 18 \cdot 7^{\frac{1}{2}} - 22$

Dạng thập phân:

$544.19078056 \dots$

Bước 13