Giải tích Ví dụ

$\int_{1}^{5} {(7 - \frac{4}{y})}^{2} d y$

Bước 1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại ${(7 - \frac{4}{y})}^{2}$ ở dạng $(7 - \frac{4}{y}) (7 - \frac{4}{y})$ .

$\int_{1}^{5} (7 - \frac{4}{y}) (7 - \frac{4}{y}) d y$

Bước 1.2

Khai triển $(7 - \frac{4}{y}) (7 - \frac{4}{y})$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int_{1}^{5} 7 (7 - \frac{4}{y}) - \frac{4}{y} (7 - \frac{4}{y}) d y$

Bước 1.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int_{1}^{5} 7 \cdot 7 + 7 (- \frac{4}{y}) - \frac{4}{y} (7 - \frac{4}{y}) d y$

Bước 1.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int_{1}^{5} 7 \cdot 7 + 7 (- \frac{4}{y}) - \frac{4}{y} \cdot 7 - \frac{4}{y} (- \frac{4}{y}) d y$

Bước 1.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.1

Nhân $7$ với $7$ .

$\int_{1}^{5} 49 + 7 (- \frac{4}{y}) - \frac{4}{y} \cdot 7 - \frac{4}{y} (- \frac{4}{y}) d y$

Bước 1.3.1.2

Nhân $7 (- \frac{4}{y})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.2.1

Nhân $- 1$ với $7$ .

$\int_{1}^{5} 49 - 7 \frac{4}{y} - \frac{4}{y} \cdot 7 - \frac{4}{y} (- \frac{4}{y}) d y$

Bước 1.3.1.2.2

Kết hợp $- 7$ và $\frac{4}{y}$ .

$\int_{1}^{5} 49 + \frac{- 7 \cdot 4}{y} - \frac{4}{y} \cdot 7 - \frac{4}{y} (- \frac{4}{y}) d y$

Bước 1.3.1.2.3

Nhân $- 7$ với $4$ .

$\int_{1}^{5} 49 + \frac{- 28}{y} - \frac{4}{y} \cdot 7 - \frac{4}{y} (- \frac{4}{y}) d y$

Bước 1.3.1.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int_{1}^{5} 49 - \frac{28}{y} - \frac{4}{y} \cdot 7 - \frac{4}{y} (- \frac{4}{y}) d y$

Bước 1.3.1.4

Nhân $- \frac{4}{y} \cdot 7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.4.1

Nhân $7$ với $- 1$ .

$\int_{1}^{5} 49 - \frac{28}{y} - 7 \frac{4}{y} - \frac{4}{y} (- \frac{4}{y}) d y$

Bước 1.3.1.4.2

Kết hợp $- 7$ và $\frac{4}{y}$ .

$\int_{1}^{5} 49 - \frac{28}{y} + \frac{- 7 \cdot 4}{y} - \frac{4}{y} (- \frac{4}{y}) d y$

Bước 1.3.1.4.3

Nhân $- 7$ với $4$ .

$\int_{1}^{5} 49 - \frac{28}{y} + \frac{- 28}{y} - \frac{4}{y} (- \frac{4}{y}) d y$

Bước 1.3.1.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int_{1}^{5} 49 - \frac{28}{y} - \frac{28}{y} - \frac{4}{y} (- \frac{4}{y}) d y$

Bước 1.3.1.6

Nhân $- \frac{4}{y} (- \frac{4}{y})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.6.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\int_{1}^{5} 49 - \frac{28}{y} - \frac{28}{y} + 1 \frac{4}{y} \frac{4}{y} d y$

Bước 1.3.1.6.2

Nhân $\frac{4}{y}$ với $1$ .

$\int_{1}^{5} 49 - \frac{28}{y} - \frac{28}{y} + \frac{4}{y} \cdot \frac{4}{y} d y$

Bước 1.3.1.6.3

Nhân $\frac{4}{y}$ với $\frac{4}{y}$ .

$\int_{1}^{5} 49 - \frac{28}{y} - \frac{28}{y} + \frac{4 \cdot 4}{y \cdot y} d y$

Bước 1.3.1.6.4

Nhân $4$ với $4$ .

$\int_{1}^{5} 49 - \frac{28}{y} - \frac{28}{y} + \frac{16}{y \cdot y} d y$

Bước 1.3.1.6.5

Nâng $y$ lên lũy thừa $1$ .

$\int_{1}^{5} 49 - \frac{28}{y} - \frac{28}{y} + \frac{16}{y^{1} y} d y$

Bước 1.3.1.6.6

Nâng $y$ lên lũy thừa $1$ .

$\int_{1}^{5} 49 - \frac{28}{y} - \frac{28}{y} + \frac{16}{y^{1} y^{1}} d y$

Bước 1.3.1.6.7

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int_{1}^{5} 49 - \frac{28}{y} - \frac{28}{y} + \frac{16}{y^{1 + 1}} d y$

Bước 1.3.1.6.8

Cộng $1$ và $1$ .

$\int_{1}^{5} 49 - \frac{28}{y} - \frac{28}{y} + \frac{16}{y^{2}} d y$

Bước 1.3.2

Trừ $\frac{28}{y}$ khỏi $- \frac{28}{y}$ .

$\int_{1}^{5} 49 - 2 \frac{28}{y} + \frac{16}{y^{2}} d y$

Bước 1.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Nhân $- 2 \frac{28}{y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.1

Kết hợp $- 2$ và $\frac{28}{y}$ .

$\int_{1}^{5} 49 + \frac{- 2 \cdot 28}{y} + \frac{16}{y^{2}} d y$

Bước 1.4.1.2

Nhân $- 2$ với $28$ .

$\int_{1}^{5} 49 + \frac{- 56}{y} + \frac{16}{y^{2}} d y$

Bước 1.4.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int_{1}^{5} 49 - \frac{56}{y} + \frac{16}{y^{2}} d y$

Bước 2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{1}^{5} 49 d y + \int_{1}^{5} - \frac{56}{y} d y + \int_{1}^{5} \frac{16}{y^{2}} d y$

Bước 3

Áp dụng quy tắc hằng số.

$49 y]_{1}^{5} + \int_{1}^{5} - \frac{56}{y} d y + \int_{1}^{5} \frac{16}{y^{2}} d y$

Bước 4

Vì $- 1$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$49 y]_{1}^{5} - \int_{1}^{5} \frac{56}{y} d y + \int_{1}^{5} \frac{16}{y^{2}} d y$

Bước 5

Vì $56$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $56$ ra khỏi tích phân.

$49 y]_{1}^{5} - (56 \int_{1}^{5} \frac{1}{y} d y) + \int_{1}^{5} \frac{16}{y^{2}} d y$

Bước 6

Nhân $56$ với $- 1$ .

$49 y]_{1}^{5} - 56 \int_{1}^{5} \frac{1}{y} d y + \int_{1}^{5} \frac{16}{y^{2}} d y$

Bước 7

Tích phân của $\frac{1}{y}$ đối với $y$ là $\ln (| y |)$ .

$49 y]_{1}^{5} - 56 (\ln (| y |)]_{1}^{5}) + \int_{1}^{5} \frac{16}{y^{2}} d y$

Bước 8

Vì $16$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $16$ ra khỏi tích phân.

$49 y]_{1}^{5} - 56 (\ln (| y |)]_{1}^{5}) + 16 \int_{1}^{5} \frac{1}{y^{2}} d y$

Bước 9

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Di chuyển $y^{2}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$49 y]_{1}^{5} - 56 (\ln (| y |)]_{1}^{5}) + 16 \int_{1}^{5} {(y^{2})}^{- 1} d y$

Bước 9.2

Nhân các số mũ trong ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$49 y]_{1}^{5} - 56 (\ln (| y |)]_{1}^{5}) + 16 \int_{1}^{5} y^{2 \cdot - 1} d y$

Bước 9.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$49 y]_{1}^{5} - 56 (\ln (| y |)]_{1}^{5}) + 16 \int_{1}^{5} y^{- 2} d y$

Bước 10

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y^{- 2}$ đối với $y$ là $- y^{- 1}$ .

$49 y]_{1}^{5} - 56 (\ln (| y |)]_{1}^{5}) + 16 (- y^{- 1}]_{1}^{5})$

Bước 11

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.1

Tính $49 y$ tại $5$ và tại $1$ .

$(49 \cdot 5) - 49 \cdot 1 - 56 (\ln (| y |)]_{1}^{5}) + 16 (- y^{- 1}]_{1}^{5})$

Bước 11.1.2

Tính $\ln (| y |)$ tại $5$ và tại $1$ .

$49 \cdot 5 - 49 \cdot 1 - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) + 16 (- y^{- 1}]_{1}^{5})$

Bước 11.1.3

Tính $- y^{- 1}$ tại $5$ và tại $1$ .

$49 \cdot 5 - 49 \cdot 1 - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) + 16 ((- 5^{- 1}) + 1^{- 1})$

Bước 11.1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.4.1

Nhân $49$ với $5$ .

$245 - 49 \cdot 1 - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) + 16 ((- 5^{- 1}) + 1^{- 1})$

Bước 11.1.4.2

Nhân $- 49$ với $1$ .

$245 - 49 - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) + 16 ((- 5^{- 1}) + 1^{- 1})$

Bước 11.1.4.3

Trừ $49$ khỏi $245$ .

$196 - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) + 16 ((- 5^{- 1}) + 1^{- 1})$

Bước 11.1.4.4

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$196 - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) + 16 (- \frac{1}{5} + 1^{- 1})$

Bước 11.1.4.5

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$196 - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) + 16 (- \frac{1}{5} + 1)$

Bước 11.1.4.6

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$196 - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) + 16 (- \frac{1}{5} + \frac{5}{5})$

Bước 11.1.4.7

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$196 - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) + 16 \frac{- 1 + 5}{5}$

Bước 11.1.4.8

Cộng $- 1$ và $5$ .

$196 - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) + 16 (\frac{4}{5})$

Bước 11.1.4.9

Kết hợp $16$ và $\frac{4}{5}$ .

$196 - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) + \frac{16 \cdot 4}{5}$

Bước 11.1.4.10

Nhân $16$ với $4$ .

$196 - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) + \frac{64}{5}$

Bước 11.1.4.11

Để viết $196$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{5}{5}$ .

$196 \cdot \frac{5}{5} + \frac{64}{5} - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |))$

Bước 11.1.4.12

Kết hợp $196$ và $\frac{5}{5}$ .

$\frac{196 \cdot 5}{5} + \frac{64}{5} - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |))$

Bước 11.1.4.13

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{196 \cdot 5 + 64}{5} - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |))$

Bước 11.1.4.14

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.4.14.1

Nhân $196$ với $5$ .

$\frac{980 + 64}{5} - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |))$

Bước 11.1.4.14.2

Cộng $980$ và $64$ .

$\frac{1044}{5} - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |))$

Bước 11.1.4.15

Để viết $- 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |))$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1044}{5} - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) \cdot \frac{5}{5}$

Bước 11.1.4.16

Kết hợp $- 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |))$ và $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1044}{5} + \frac{- 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) \cdot 5}{5}$

Bước 11.1.4.17

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1044 - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) \cdot 5}{5}$

Bước 11.1.4.18

Nhân $5$ với $- 56$ .

$\frac{1044 - 280 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |))}{5}$

Bước 11.2

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1044 - 280 \ln (\frac{| 5 |}{| 1 |})}{5}$

Bước 11.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $5$ là $5$ .

$\frac{1044 - 280 \ln (\frac{5}{| 1 |})}{5}$

Bước 11.3.2

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{1044 - 280 \ln (\frac{5}{1})}{5}$

Bước 11.3.3

Chia $5$ cho $1$ .

$\frac{1044 - 280 \ln (5)}{5}$

Bước 12

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{1044 - 280 \ln (5)}{5}$

Dạng thập phân:

$118.67147690 \dots$

Bước 13