Giải tích Ví dụ

$\int_{- 2 x}^{2 x} s^{2} d s$

Bước 1

Chia tích phân này thành hai tích phân trong đó $c$ là một giá trị nào đó nằm giữa $- 2 x$ và $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{- 2 x}^{c} s^{2} d s + \int_{c}^{2 x} s^{2} d s]$

Bước 2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\int_{- 2 x}^{c} s^{2} d s + \int_{c}^{2 x} s^{2} d s$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\int_{- 2 x}^{c} s^{2} d s] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{2 x} s^{2} d s]$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{- 2 x}^{c} s^{2} d s] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{2 x} s^{2} d s]$

Bước 3

Hóa n đổi vị trí các biên của tích phân.

$\frac{d}{d x} [- \int_{c}^{- 2 x} s^{2} d s] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{2 x} s^{2} d s]$

Bước 4

Lấy đạo hàm của $- \int_{c}^{- 2 x} s^{2} d s$ đối với $x$ bằng định lý cơ bản của giải tích và quy tắc chuỗi.

$\frac{d}{d x} [- 2 x] (- {(- 2 x)}^{2}) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{2 x} s^{2} d s]$

Bước 5

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 x$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x] (- {(- 2 x)}^{2}) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{2 x} s^{2} d s]$

Bước 5.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1 (- {(- 2 x)}^{2}) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{2 x} s^{2} d s]$

Bước 5.3

Nhân $- 2$ với $1$ .

$- 2 (- {(- 2 x)}^{2}) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{2 x} s^{2} d s]$

Bước 6

Lấy đạo hàm của $\int_{c}^{2 x} s^{2} d s$ đối với $x$ bằng định lý cơ bản của giải tích và quy tắc chuỗi.

$- 2 (- {(- 2 x)}^{2}) + \frac{d}{d x} [2 x] {(2 x)}^{2}$

Bước 7

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 (- {(- 2 x)}^{2}) + 2 \frac{d}{d x} [x] {(2 x)}^{2}$

Bước 7.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 2 (- {(- 2 x)}^{2}) + 2 \cdot 1 {(2 x)}^{2}$

Bước 7.3

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Nhân $2$ với $1$ .

$- 2 (- {(- 2 x)}^{2}) + 2 {(2 x)}^{2}$

Bước 7.3.2

Đưa $- 2$ ra ngoài $- 2 x$ .

$- 2 (- {(- 2 (x))}^{2}) + 2 {(2 x)}^{2}$

Bước 7.3.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.3.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $- 2 (x)$ .

$- 2 (- ({(- 2)}^{2} x^{2})) + 2 {(2 x)}^{2}$

Bước 7.3.3.2

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $2$ .

$- 2 (- (4 x^{2})) + 2 {(2 x)}^{2}$

Bước 7.3.3.3

Nhân $4$ với $- 1$ .

$- 2 (- 4 x^{2}) + 2 {(2 x)}^{2}$

Bước 7.3.3.4

Nhân $- 4$ với $- 2$ .

$8 x^{2} + 2 {(2 x)}^{2}$

Bước 7.3.4

Đưa $2$ ra ngoài $2 x$ .

$8 x^{2} + 2 {(2 (x))}^{2}$

Bước 7.3.5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.5.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $2 (x)$ .

$8 x^{2} + 2 (2^{2} x^{2})$

Bước 7.3.5.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$8 x^{2} + 2 (4 x^{2})$

Bước 7.3.5.3

Nhân $4$ với $2$ .

$8 x^{2} + 8 x^{2}$

Bước 7.3.6

Cộng $8 x^{2}$ và $8 x^{2}$ .

$16 x^{2}$