Giải tích Ví dụ

\int_{- 2 x}^{2 x} s^{2} d s

$\int_{- 2 x}^{2 x} s^{2} d s$

Bước 1

Chia tích phân này thành hai tích phân trong đó

c

$c$ là một giá trị nào đó nằm giữa

- 2 x

$- 2 x$ và

2 x

$2 x$ .

\frac{d}{d x} [\int_{- 2 x}^{c} s^{2} d s + \int_{c}^{2 x} s^{2} d s]

$\frac{d}{d x} [\int_{- 2 x}^{c} s^{2} d s + \int_{c}^{2 x} s^{2} d s]$

Bước 2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của

\int_{- 2 x}^{c} s^{2} d s + \int_{c}^{2 x} s^{2} d s

$\int_{- 2 x}^{c} s^{2} d s + \int_{c}^{2 x} s^{2} d s$ đối với

x

$x$ là

\frac{d}{d x} [\int_{- 2 x}^{c} s^{2} d s] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{2 x} s^{2} d s]

$\frac{d}{d x} [\int_{- 2 x}^{c} s^{2} d s] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{2 x} s^{2} d s]$ .

\frac{d}{d x} [\int_{- 2 x}^{c} s^{2} d s] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{2 x} s^{2} d s]

$\frac{d}{d x} [\int_{- 2 x}^{c} s^{2} d s] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{2 x} s^{2} d s]$

Bước 3

Hóa n đổi vị trí các biên của tích phân.

\frac{d}{d x} [- \int_{c}^{- 2 x} s^{2} d s] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{2 x} s^{2} d s]

$\frac{d}{d x} [- \int_{c}^{- 2 x} s^{2} d s] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{2 x} s^{2} d s]$

Bước 4

Lấy đạo hàm của

- \int_{c}^{- 2 x} s^{2} d s

$- \int_{c}^{- 2 x} s^{2} d s$ đối với

x

$x$ bằng định lý cơ bản của giải tích và quy tắc chuỗi.

\frac{d}{d x} [- 2 x] (- {(- 2 x)}^{2}) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{2 x} s^{2} d s]

$\frac{d}{d x} [- 2 x] (- {(- 2 x)}^{2}) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{2 x} s^{2} d s]$

Bước 5

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Vì

- 2

$- 2$ không đổi đối với

x

$x$ , nên đạo hàm của

- 2 x

$- 2 x$ đối với

x

$x$ là

- 2 \frac{d}{d x} [x]

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

- 2 \frac{d}{d x} [x] (- {(- 2 x)}^{2}) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{2 x} s^{2} d s]

$- 2 \frac{d}{d x} [x] (- {(- 2 x)}^{2}) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{2 x} s^{2} d s]$

Bước 5.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ trong đó

n = 1

$n = 1$ .

- 2 \cdot 1 (- {(- 2 x)}^{2}) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{2 x} s^{2} d s]

$- 2 \cdot 1 (- {(- 2 x)}^{2}) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{2 x} s^{2} d s]$

Bước 5.3

Nhân

- 2

$- 2$ với

1

$1$ .

- 2 (- {(- 2 x)}^{2}) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{2 x} s^{2} d s]

$- 2 (- {(- 2 x)}^{2}) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{2 x} s^{2} d s]$

- 2 (- {(- 2 x)}^{2}) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{2 x} s^{2} d s]

$- 2 (- {(- 2 x)}^{2}) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{2 x} s^{2} d s]$

Bước 6

Lấy đạo hàm của

\int_{c}^{2 x} s^{2} d s

$\int_{c}^{2 x} s^{2} d s$ đối với

x

$x$ bằng định lý cơ bản của giải tích và quy tắc chuỗi.

- 2 (- {(- 2 x)}^{2}) + \frac{d}{d x} [2 x] {(2 x)}^{2}

$- 2 (- {(- 2 x)}^{2}) + \frac{d}{d x} [2 x] {(2 x)}^{2}$

Bước 7

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Vì

2

$2$ không đổi đối với

x

$x$ , nên đạo hàm của

2 x

$2 x$ đối với

x

$x$ là

2 \frac{d}{d x} [x]

$2 \frac{d}{d x} [x]$ .

- 2 (- {(- 2 x)}^{2}) + 2 \frac{d}{d x} [x] {(2 x)}^{2}

$- 2 (- {(- 2 x)}^{2}) + 2 \frac{d}{d x} [x] {(2 x)}^{2}$

Bước 7.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ trong đó

n = 1

$n = 1$ .

- 2 (- {(- 2 x)}^{2}) + 2 \cdot 1 {(2 x)}^{2}

$- 2 (- {(- 2 x)}^{2}) + 2 \cdot 1 {(2 x)}^{2}$

Bước 7.3

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Nhân

2

$2$ với

1

$1$ .

- 2 (- {(- 2 x)}^{2}) + 2 {(2 x)}^{2}

$- 2 (- {(- 2 x)}^{2}) + 2 {(2 x)}^{2}$

Bước 7.3.2

Đưa

- 2

$- 2$ ra ngoài

- 2 x

$- 2 x$ .

- 2 (- {(- 2 (x))}^{2}) + 2 {(2 x)}^{2}

$- 2 (- {(- 2 (x))}^{2}) + 2 {(2 x)}^{2}$

Bước 7.3.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.3.1

Áp dụng quy tắc tích số cho

- 2 (x)

$- 2 (x)$ .

- 2 (- ({(- 2)}^{2} x^{2})) + 2 {(2 x)}^{2}

$- 2 (- ({(- 2)}^{2} x^{2})) + 2 {(2 x)}^{2}$

Bước 7.3.3.2

Nâng

- 2

$- 2$ lên lũy thừa

2

$2$ .

- 2 (- (4 x^{2})) + 2 {(2 x)}^{2}

$- 2 (- (4 x^{2})) + 2 {(2 x)}^{2}$

Bước 7.3.3.3

Nhân

4

$4$ với

- 1

$- 1$ .

- 2 (- 4 x^{2}) + 2 {(2 x)}^{2}

$- 2 (- 4 x^{2}) + 2 {(2 x)}^{2}$

Bước 7.3.3.4

Nhân

- 4

$- 4$ với

- 2

$- 2$ .

8 x^{2} + 2 {(2 x)}^{2}

$8 x^{2} + 2 {(2 x)}^{2}$

8 x^{2} + 2 {(2 x)}^{2}

$8 x^{2} + 2 {(2 x)}^{2}$

Bước 7.3.4

Đưa

2

$2$ ra ngoài

2 x

$2 x$ .

8 x^{2} + 2 {(2 (x))}^{2}

$8 x^{2} + 2 {(2 (x))}^{2}$

Bước 7.3.5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.5.1

Áp dụng quy tắc tích số cho

2 (x)

$2 (x)$ .

8 x^{2} + 2 (2^{2} x^{2})

$8 x^{2} + 2 (2^{2} x^{2})$

Bước 7.3.5.2

Nâng

2

$2$ lên lũy thừa

2

$2$ .

8 x^{2} + 2 (4 x^{2})

$8 x^{2} + 2 (4 x^{2})$

Bước 7.3.5.3

Nhân

4

$4$ với

2

$2$ .

8 x^{2} + 8 x^{2}

$8 x^{2} + 8 x^{2}$

8 x^{2} + 8 x^{2}

$8 x^{2} + 8 x^{2}$

Bước 7.3.6

Cộng

8 x^{2}

$8 x^{2}$ và

8 x^{2}

$8 x^{2}$ .

16 x^{2}

$16 x^{2}$

16 x^{2}

$16 x^{2}$

16 x^{2}

$16 x^{2}$