Giải tích Ví dụ

$\int y \sqrt{2 y + 2} d y$

Bước 1

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = y$ và $d v = \sqrt{2 y + 2}$ .

$y (\frac{1}{3} {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{1}{3} {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} d y$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và ${(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}$ .

$y \frac{{(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{1}{3} {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} d y$

Bước 2.2

Kết hợp $y$ và $\frac{{(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{1}{3} {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} d y$

Bước 3

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{1}{3} \int {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} d y)$

Bước 4

Giả sử $u = 2 y + 2$ . Sau đó $d u = 2 d y$ , nên $\frac{1}{2} d u = d y$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Hãy đặt $u = 2 y + 2$ . Tìm $\frac{d u}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Tính đạo hàm $2 y + 2$ .

$\frac{d}{d y} [2 y + 2]$

Bước 4.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 y + 2$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [2]$ .

$\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [2]$

Bước 4.1.3

Tính $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $2 y$ đối với $y$ là $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$

Bước 4.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [2]$

Bước 4.1.3.3

Nhân $2$ với $1$ .

$2 + \frac{d}{d y} [2]$

Bước 4.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.4.1

Vì $2$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $2$ đối với $y$ là $0$ .

$2 + 0$

Bước 4.1.4.2

Cộng $2$ và $0$ .

$2$

Bước 4.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{3} \int u^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} d u$

Bước 5

Kết hợp $u^{\frac{3}{2}}$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u$

Bước 6

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \int u^{\frac{3}{2}} d u)$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{3}$ .

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2 \cdot 3} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Bước 7.2

Nhân $2$ với $3$ .

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{6} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Bước 8

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{\frac{3}{2}}$ đối với $u$ là $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{6} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Viết lại $\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{6} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$ ở dạng $\frac{1}{3} y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$ .

$\frac{1}{3} y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

Bước 9.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $y$ .

$\frac{y}{3} {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

Bước 9.2.2

Kết hợp $\frac{y}{3}$ và ${(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

Bước 9.2.3

Nhân $\frac{2}{5}$ với $\frac{1}{6}$ .

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{5 \cdot 6} u^{\frac{5}{2}} + C$

Bước 9.2.4

Nhân $5$ với $6$ .

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{30} u^{\frac{5}{2}} + C$

Bước 9.2.5

Triệt tiêu thừa số chung của $2$ và $30$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.5.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 (1)}{30} u^{\frac{5}{2}} + C$

Bước 9.2.5.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.5.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $30$ .

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 15} u^{\frac{5}{2}} + C$

Bước 9.2.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 15} u^{\frac{5}{2}} + C$

Bước 9.2.5.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{15} u^{\frac{5}{2}} + C$

Bước 9.2.6

Để viết $- \frac{1}{15} u^{\frac{5}{2}}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{15} u^{\frac{5}{2}} \cdot \frac{3}{3} + C$

Bước 9.2.7

Kết hợp $- \frac{1}{15} u^{\frac{5}{2}}$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- \frac{1}{15} u^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{3} + C$

Bước 9.2.8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{15} u^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{3} + C$

Bước 9.2.9

Kết hợp $u^{\frac{5}{2}}$ và $\frac{1}{15}$ .

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} - \frac{u^{\frac{5}{2}}}{15} \cdot 3}{3} + C$

Bước 9.2.10

Nhân $3$ với $- 1$ .

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} - 3 \frac{u^{\frac{5}{2}}}{15}}{3} + C$

Bước 9.2.11

Kết hợp $- 3$ và $\frac{u^{\frac{5}{2}}}{15}$ .

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 3 u^{\frac{5}{2}}}{15}}{3} + C$

Bước 9.2.12

Đưa $3$ ra ngoài $- 3 u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 (- u^{\frac{5}{2}})}{15}}{3} + C$

Bước 9.2.13

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.13.1

Đưa $3$ ra ngoài $15$ .

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 (- u^{\frac{5}{2}})}{3 (5)}}{3} + C$

Bước 9.2.13.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 (- u^{\frac{5}{2}})}{3 \cdot 5}}{3} + C$

Bước 9.2.13.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C$

Bước 9.2.14

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} - \frac{u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C$

Bước 9.2.15

Để viết $y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{5}{5}$ .

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{5}{5} - \frac{u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C$

Bước 9.2.16

Kết hợp $y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}$ và $\frac{5}{5}$ .

$\frac{\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{5} - \frac{u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C$

Bước 9.2.17

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5 - u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C$

Bước 9.2.18

Di chuyển $5$ sang phía bên trái của $y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{\frac{5 \cdot (y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}) - u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C$

Bước 9.2.19

Viết lại $\frac{\frac{5 y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} - u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3}$ ở dạng một tích.

$\frac{5 y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} - u^{\frac{5}{2}}}{5} \cdot \frac{1}{3} + C$

Bước 9.2.20

Nhân $\frac{5 y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} - u^{\frac{5}{2}}}{5}$ với $\frac{1}{3}$ .

$\frac{5 y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} - u^{\frac{5}{2}}}{5 \cdot 3} + C$

Bước 9.2.21

Nhân $5$ với $3$ .

$\frac{5 y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} - u^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Bước 10

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 y + 2$ .

$\frac{5 y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} - {(2 y + 2)}^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Bước 11

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{15} (5 y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} - {(2 y + 2)}^{\frac{5}{2}}) + C$