Giải tích Ví dụ

$f (x) = 2 \ln (\frac{x}{2} + 1)$

Bước 1

Viết $f (x) = 2 \ln (\frac{x}{2} + 1)$ ở dạng một phương trình.

$y = 2 \ln (\frac{x}{2} + 1)$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = 2 \ln (\frac{y}{2} + 1)$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại phương trình ở dạng $2 \ln (\frac{y}{2} + 1) = x$ .

$2 \ln (\frac{y}{2} + 1) = x$

Bước 3.2

Chia mỗi số hạng trong $2 \ln (\frac{y}{2} + 1) = x$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Chia mỗi số hạng trong $2 \ln (\frac{y}{2} + 1) = x$ cho $2$ .

$\frac{2 \ln (\frac{y}{2} + 1)}{2} = \frac{x}{2}$

Bước 3.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \ln (\frac{y}{2} + 1)}{2} = \frac{x}{2}$

Bước 3.2.2.1.2

Chia $\ln (\frac{y}{2} + 1)$ cho $1$ .

$\ln (\frac{y}{2} + 1) = \frac{x}{2}$

Bước 3.3

Để giải tìm $y$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (\frac{y}{2} + 1)} = e^{\frac{x}{2}}$

Bước 3.4

Viết lại $\ln (\frac{y}{2} + 1) = \frac{x}{2}$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{x}{2}} = \frac{y}{2} + 1$

Bước 3.5

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{y}{2} + 1 = e^{\frac{x}{2}}$ .

$\frac{y}{2} + 1 = e^{\frac{x}{2}}$

Bước 3.5.2

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{y}{2} = e^{\frac{x}{2}} - 1$

Bước 3.5.3

Nhân cả hai vế của phương trình với $2$ .

$2 \frac{y}{2} = 2 (e^{\frac{x}{2}} - 1)$

Bước 3.5.4

Rút gọn cả hai vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.4.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.4.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.4.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \frac{y}{2} = 2 (e^{\frac{x}{2}} - 1)$

Bước 3.5.4.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$y = 2 (e^{\frac{x}{2}} - 1)$

Bước 3.5.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.4.2.1

Rút gọn $2 (e^{\frac{x}{2}} - 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.4.2.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = 2 e^{\frac{x}{2}} + 2 \cdot - 1$

Bước 3.5.4.2.1.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$y = 2 e^{\frac{x}{2}} - 2$

Bước 4

Thay thế $y$ bằng $f^{- 1} (x)$ để cho thấy đáp án cuối cùng.

$f^{- 1} (x) = 2 e^{\frac{x}{2}} - 2$

Bước 5

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = 2 e^{\frac{x}{2}} - 2$ có là hàm ngược của $f (x) = 2 \ln (\frac{x}{2} + 1)$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 5.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 5.2.2

Tính $f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1))$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1)) = 2 e^{\frac{2 \ln (\frac{x}{2} + 1)}{2}} - 2$

Bước 5.2.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1)) = 2 e^{\frac{2 \ln (\frac{x}{2} + 1)}{2}} - 2$

Bước 5.2.3.1.2

Chia $\ln (\frac{x}{2} + 1)$ cho $1$ .

$f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1)) = 2 e^{\ln (\frac{x}{2} + 1)} - 2$

Bước 5.2.3.2

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1)) = 2 (\frac{x}{2} + 1) - 2$

Bước 5.2.3.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1)) = 2 (\frac{x}{2}) + 2 \cdot 1 - 2$

Bước 5.2.3.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1)) = 2 (\frac{x}{2}) + 2 \cdot 1 - 2$

Bước 5.2.3.4.2

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1)) = x + 2 \cdot 1 - 2$

Bước 5.2.3.5

Nhân $2$ với $1$ .

$f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1)) = x + 2 - 2$

Bước 5.2.4

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x + 2 - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1

Trừ $2$ khỏi $2$ .

$f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1)) = x + 0$

Bước 5.2.4.2

Cộng $x$ và $0$ .

$f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1)) = x$

Bước 5.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 5.3.2

Tính $f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2)$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 \ln (\frac{2 e^{\frac{x}{2}} - 2}{2} + 1)$

Bước 5.3.3

Triệt tiêu thừa số chung của $2 e^{\frac{x}{2}} - 2$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 e^{\frac{x}{2}}$ .

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 \ln (\frac{2 (e^{\frac{x}{2}}) - 2}{2} + 1)$

Bước 5.3.3.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 \ln (\frac{2 (e^{\frac{x}{2}}) + 2 \cdot - 1}{2} + 1)$

Bước 5.3.3.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 (e^{\frac{x}{2}}) + 2 (- 1)$ .

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 \ln (\frac{2 (e^{\frac{x}{2}} - 1)}{2} + 1)$

Bước 5.3.3.4

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 \ln (\frac{2 (e^{\frac{x}{2}} - 1)}{2 (1)} + 1)$

Bước 5.3.3.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 \ln (\frac{2 (e^{\frac{x}{2}} - 1)}{2 \cdot 1} + 1)$

Bước 5.3.3.4.3

Viết lại biểu thức.

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 \ln (\frac{e^{\frac{x}{2}} - 1}{1} + 1)$

Bước 5.3.3.4.4

Chia $e^{\frac{x}{2}} - 1$ cho $1$ .

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 \ln (e^{\frac{x}{2}} - 1 + 1)$

Bước 5.3.4

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $e^{\frac{x}{2}} - 1 + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.1

Cộng $- 1$ và $1$ .

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 \ln (e^{\frac{x}{2}} + 0)$

Bước 5.3.4.2

Cộng $e^{\frac{x}{2}}$ và $0$ .

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 \ln (e^{\frac{x}{2}})$

Bước 5.3.5

Sử dụng các quy tắc logarit để di chuyển $\frac{x}{2}$ ra khỏi số mũ.

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 (\frac{x}{2} \cdot \ln (e))$

Bước 5.3.6

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 (\frac{x}{2} \cdot 1)$

Bước 5.3.7

Nhân $\frac{x}{2}$ với $1$ .

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 (\frac{x}{2})$

Bước 5.3.8

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.8.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 (\frac{x}{2})$

Bước 5.3.8.2

Viết lại biểu thức.

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = x$

Bước 5.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = 2 e^{\frac{x}{2}} - 2$ là hàm ngược của $f (x) = 2 \ln (\frac{x}{2} + 1)$ .

$f^{- 1} (x) = 2 e^{\frac{x}{2}} - 2$