Giải tích Ví dụ

$\int x \sin (0.5 x) d x$

Bước 1

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x$ và $d v = \sin (0.5 x)$ .

$x (- 2 \cos (0.5 x)) - \int - 2 \cos (0.5 x) d x$

Bước 2

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 2$ ra khỏi tích phân.

$x (- 2 \cos (0.5 x)) - (- 2 \int \cos (0.5 x) d x)$

Bước 3

Nhân $- 2$ với $- 1$ .

$x (- 2 \cos (0.5 x)) + 2 \int \cos (0.5 x) d x$

Bước 4

Giả sử $u = 0.5 x$ . Sau đó $d u = 0.5 d x$ , nên $\frac{1}{0.5} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Hãy đặt $u = 0.5 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Tính đạo hàm $0.5 x$ .

$\frac{d}{d x} [0.5 x]$

Bước 4.1.2

Vì $0.5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $0.5 x$ đối với $x$ là $0.5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0.5 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 4.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$0.5 \cdot 1$

Bước 4.1.4

Nhân $0.5$ với $1$ .

$0.5$

Bước 4.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$x (- 2 \cos (0.5 x)) + 2 \int \cos (u) \frac{1}{0.5} d u$

Bước 5

Kết hợp $\cos (u)$ và $\frac{1}{0.5}$ .

$x (- 2 \cos (0.5 x)) + 2 \int \frac{\cos (u)}{0.5} d u$

Bước 6

Vì $\frac{1}{0.5}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{0.5}$ ra khỏi tích phân.

$x (- 2 \cos (0.5 x)) + 2 (\frac{1}{0.5} \int \cos (u) d u)$

Bước 7

Kết hợp $\frac{1}{0.5}$ và $2$ .

$x (- 2 \cos (0.5 x)) + \frac{2}{0.5} \int \cos (u) d u$

Bước 8

Tích phân của $\cos (u)$ đối với $u$ là $\sin (u)$ .

$x (- 2 \cos (0.5 x)) + \frac{2}{0.5} (\sin (u) + C)$

Bước 9

Viết lại $x (- 2 \cos (0.5 x)) + \frac{2}{0.5} (\sin (u) + C)$ ở dạng $- 2 x \cos (0.5 x) + \frac{2}{0.5} \sin (u) + C$ .

$- 2 x \cos (0.5 x) + \frac{2}{0.5} \sin (u) + C$

Bước 10

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $0.5 x$ .

$- 2 x \cos (0.5 x) + \frac{2}{0.5} \sin (0.5 x) + C$

Bước 11

Chia $2$ cho $0.5$ .

$- 2 x \cos (0.5 x) + 4 \sin (0.5 x) + C$