Giải tích Ví dụ

$\int_{4}^{7} 6 (t^{2} - 11 t + 30) d t$

Bước 1

Vì $6$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $6$ ra khỏi tích phân.

$6 \int_{4}^{7} t^{2} - 11 t + 30 d t$

Bước 2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$6 (\int_{4}^{7} t^{2} d t + \int_{4}^{7} - 11 t d t + \int_{4}^{7} 30 d t)$

Bước 3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $t^{2}$ đối với $t$ là $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$6 (\frac{1}{3} t^{3}]_{4}^{7} + \int_{4}^{7} - 11 t d t + \int_{4}^{7} 30 d t)$

Bước 4

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $t^{3}$ .

$6 (\frac{t^{3}}{3}]_{4}^{7} + \int_{4}^{7} - 11 t d t + \int_{4}^{7} 30 d t)$

Bước 5

Vì $- 11$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $- 11$ ra khỏi tích phân.

$6 (\frac{t^{3}}{3}]_{4}^{7} - 11 \int_{4}^{7} t d t + \int_{4}^{7} 30 d t)$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $t$ đối với $t$ là $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$6 (\frac{t^{3}}{3}]_{4}^{7} - 11 (\frac{1}{2} t^{2}]_{4}^{7}) + \int_{4}^{7} 30 d t)$

Bước 7

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $t^{2}$ .

$6 (\frac{t^{3}}{3}]_{4}^{7} - 11 (\frac{t^{2}}{2}]_{4}^{7}) + \int_{4}^{7} 30 d t)$

Bước 8

Áp dụng quy tắc hằng số.

$6 (\frac{t^{3}}{3}]_{4}^{7} - 11 (\frac{t^{2}}{2}]_{4}^{7}) + 30 t]_{4}^{7})$

Bước 9

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Kết hợp $\frac{t^{3}}{3}]_{4}^{7}$ và $30 t]_{4}^{7}$ .

$6 (\frac{t^{3}}{3} + 30 t]_{4}^{7} - 11 (\frac{t^{2}}{2}]_{4}^{7}))$

Bước 9.2

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Tính $\frac{t^{3}}{3} + 30 t$ tại $7$ và tại $4$ .

$6 ((\frac{7^{3}}{3} + 30 \cdot 7) - (\frac{4^{3}}{3} + 30 \cdot 4) - 11 (\frac{t^{2}}{2}]_{4}^{7}))$

Bước 9.2.2

Tính $\frac{t^{2}}{2}$ tại $7$ và tại $4$ .

$6 ((\frac{7^{3}}{3} + 30 \cdot 7) - (\frac{4^{3}}{3} + 30 \cdot 4) - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

Bước 9.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.3.1

Nâng $7$ lên lũy thừa $3$ .

$6 (\frac{343}{3} + 30 \cdot 7 - (\frac{4^{3}}{3} + 30 \cdot 4) - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

Bước 9.2.3.2

Nhân $30$ với $7$ .

$6 (\frac{343}{3} + 210 - (\frac{4^{3}}{3} + 30 \cdot 4) - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

Bước 9.2.3.3

Để viết $210$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$6 (\frac{343}{3} + 210 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{4^{3}}{3} + 30 \cdot 4) - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

Bước 9.2.3.4

Kết hợp $210$ và $\frac{3}{3}$ .

$6 (\frac{343}{3} + \frac{210 \cdot 3}{3} - (\frac{4^{3}}{3} + 30 \cdot 4) - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

Bước 9.2.3.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$6 (\frac{343 + 210 \cdot 3}{3} - (\frac{4^{3}}{3} + 30 \cdot 4) - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

Bước 9.2.3.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.3.6.1

Nhân $210$ với $3$ .

$6 (\frac{343 + 630}{3} - (\frac{4^{3}}{3} + 30 \cdot 4) - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

Bước 9.2.3.6.2

Cộng $343$ và $630$ .

$6 (\frac{973}{3} - (\frac{4^{3}}{3} + 30 \cdot 4) - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

Bước 9.2.3.7

Nâng $4$ lên lũy thừa $3$ .

$6 (\frac{973}{3} - (\frac{64}{3} + 30 \cdot 4) - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

Bước 9.2.3.8

Nhân $30$ với $4$ .

$6 (\frac{973}{3} - (\frac{64}{3} + 120) - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

Bước 9.2.3.9

Để viết $120$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$6 (\frac{973}{3} - (\frac{64}{3} + 120 \cdot \frac{3}{3}) - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

Bước 9.2.3.10

Kết hợp $120$ và $\frac{3}{3}$ .

$6 (\frac{973}{3} - (\frac{64}{3} + \frac{120 \cdot 3}{3}) - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

Bước 9.2.3.11

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$6 (\frac{973}{3} - \frac{64 + 120 \cdot 3}{3} - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

Bước 9.2.3.12

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.3.12.1

Nhân $120$ với $3$ .

$6 (\frac{973}{3} - \frac{64 + 360}{3} - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

Bước 9.2.3.12.2

Cộng $64$ và $360$ .

$6 (\frac{973}{3} - \frac{424}{3} - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

Bước 9.2.3.13

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$6 (\frac{973 - 424}{3} - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

Bước 9.2.3.14

Trừ $424$ khỏi $973$ .

$6 (\frac{549}{3} - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

Bước 9.2.3.15

Triệt tiêu thừa số chung của $549$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.3.15.1

Đưa $3$ ra ngoài $549$ .

$6 (\frac{3 \cdot 183}{3} - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

Bước 9.2.3.15.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.3.15.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$6 (\frac{3 \cdot 183}{3 (1)} - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

Bước 9.2.3.15.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$6 (\frac{3 \cdot 183}{3 \cdot 1} - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

Bước 9.2.3.15.2.3

Viết lại biểu thức.

$6 (\frac{183}{1} - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

Bước 9.2.3.15.2.4

Chia $183$ cho $1$ .

$6 (183 - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

Bước 9.2.3.16

Nâng $7$ lên lũy thừa $2$ .

$6 (183 - 11 (\frac{49}{2} - \frac{4^{2}}{2}))$

Bước 9.2.3.17

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$6 (183 - 11 (\frac{49}{2} - \frac{16}{2}))$

Bước 9.2.3.18

Triệt tiêu thừa số chung của $16$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.3.18.1

Đưa $2$ ra ngoài $16$ .

$6 (183 - 11 (\frac{49}{2} - \frac{2 \cdot 8}{2}))$

Bước 9.2.3.18.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.3.18.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$6 (183 - 11 (\frac{49}{2} - \frac{2 \cdot 8}{2 (1)}))$

Bước 9.2.3.18.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$6 (183 - 11 (\frac{49}{2} - \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1}))$

Bước 9.2.3.18.2.3

Viết lại biểu thức.

$6 (183 - 11 (\frac{49}{2} - \frac{8}{1}))$

Bước 9.2.3.18.2.4

Chia $8$ cho $1$ .

$6 (183 - 11 (\frac{49}{2} - 1 \cdot 8))$

Bước 9.2.3.19

Nhân $- 1$ với $8$ .

$6 (183 - 11 (\frac{49}{2} - 8))$

Bước 9.2.3.20

Để viết $- 8$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$6 (183 - 11 (\frac{49}{2} - 8 \cdot \frac{2}{2}))$

Bước 9.2.3.21

Kết hợp $- 8$ và $\frac{2}{2}$ .

$6 (183 - 11 (\frac{49}{2} + \frac{- 8 \cdot 2}{2}))$

Bước 9.2.3.22

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$6 (183 - 11 \frac{49 - 8 \cdot 2}{2})$

Bước 9.2.3.23

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.3.23.1

Nhân $- 8$ với $2$ .

$6 (183 - 11 \frac{49 - 16}{2})$

Bước 9.2.3.23.2

Trừ $16$ khỏi $49$ .

$6 (183 - 11 (\frac{33}{2}))$

Bước 9.2.3.24

Kết hợp $- 11$ và $\frac{33}{2}$ .

$6 (183 + \frac{- 11 \cdot 33}{2})$

Bước 9.2.3.25

Nhân $- 11$ với $33$ .

$6 (183 + \frac{- 363}{2})$

Bước 9.2.3.26

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$6 (183 - \frac{363}{2})$

Bước 9.2.3.27

Để viết $183$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$6 (183 \cdot \frac{2}{2} - \frac{363}{2})$

Bước 9.2.3.28

Kết hợp $183$ và $\frac{2}{2}$ .

$6 (\frac{183 \cdot 2}{2} - \frac{363}{2})$

Bước 9.2.3.29

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$6 \frac{183 \cdot 2 - 363}{2}$

Bước 9.2.3.30

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.3.30.1

Nhân $183$ với $2$ .

$6 \frac{366 - 363}{2}$

Bước 9.2.3.30.2

Trừ $363$ khỏi $366$ .

$6 (\frac{3}{2})$

Bước 9.2.3.31

Kết hợp $6$ và $\frac{3}{2}$ .

$\frac{6 \cdot 3}{2}$

Bước 9.2.3.32

Nhân $6$ với $3$ .

$\frac{18}{2}$

Bước 9.2.3.33

Triệt tiêu thừa số chung của $18$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.3.33.1

Đưa $2$ ra ngoài $18$ .

$\frac{2 \cdot 9}{2}$

Bước 9.2.3.33.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.3.33.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 \cdot 9}{2 (1)}$

Bước 9.2.3.33.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 1}$

Bước 9.2.3.33.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{9}{1}$

Bước 9.2.3.33.2.4

Chia $9$ cho $1$ .

$9$

Bước 10