Giải tích Ví dụ

$\int - 7 x e^{4 x - 2} d x$

Bước 1

Vì $- 7$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 7$ ra khỏi tích phân.

$- 7 \int x e^{4 x - 2} d x$

Bước 2

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x$ và $d v = e^{4 x - 2}$ .

$- 7 (x (\frac{1}{4} e^{4 x - 2}) - \int \frac{1}{4} e^{4 x - 2} d x)$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $e^{4 x - 2}$ .

$- 7 (x \frac{e^{4 x - 2}}{4} - \int \frac{1}{4} e^{4 x - 2} d x)$

Bước 3.2

Kết hợp $x$ và $\frac{e^{4 x - 2}}{4}$ .

$- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} - \int \frac{1}{4} e^{4 x - 2} d x)$

Bước 3.3

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $e^{4 x - 2}$ .

$- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} - \int \frac{e^{4 x - 2}}{4} d x)$

Bước 4

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{4}$ ra khỏi tích phân.

$- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} - (\frac{1}{4} \int e^{4 x - 2} d x))$

Bước 5

Giả sử $u = 4 x - 2$ . Sau đó $d u = 4 d x$ , nên $\frac{1}{4} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Hãy đặt $u = 4 x - 2$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Tính đạo hàm $4 x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [4 x - 2]$

Bước 5.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 x - 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Bước 5.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.3.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Bước 5.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Bước 5.1.3.3

Nhân $4$ với $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Bước 5.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.4.1

Vì $- 2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 2$ đối với $x$ là $0$ .

$4 + 0$

Bước 5.1.4.2

Cộng $4$ và $0$ .

$4$

Bước 5.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} - \frac{1}{4} \int e^{u} \frac{1}{4} d u)$

Bước 6

Kết hợp $e^{u}$ và $\frac{1}{4}$ .

$- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} - \frac{1}{4} \int \frac{e^{u}}{4} d u)$

Bước 7

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{4}$ ra khỏi tích phân.

$- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} - \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int e^{u} d u))$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Nhân $\frac{1}{4}$ với $\frac{1}{4}$ .

$- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} - \frac{1}{4 \cdot 4} \int e^{u} d u)$

Bước 8.2

Nhân $4$ với $4$ .

$- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} - \frac{1}{16} \int e^{u} d u)$

Bước 9

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C))$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Viết lại $- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C))$ ở dạng $- 7 (\frac{1}{4} x e^{4 x - 2} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$ .

$- 7 (\frac{1}{4} x e^{4 x - 2} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$

Bước 10.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $x$ .

$- 7 (\frac{x}{4} e^{4 x - 2} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$

Bước 10.2.2

Kết hợp $\frac{x}{4}$ và $e^{4 x - 2}$ .

$- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$

Bước 10.2.3

Để viết $- \frac{1}{16} e^{u}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} - \frac{1}{16} e^{u} \cdot \frac{4}{4}) + C$

Bước 10.2.4

Kết hợp $- \frac{1}{16} e^{u}$ và $\frac{4}{4}$ .

$- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} + \frac{- \frac{1}{16} e^{u} \cdot 4}{4}) + C$

Bước 10.2.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- 7 \frac{x e^{4 x - 2} - \frac{1}{16} e^{u} \cdot 4}{4} + C$

Bước 10.2.6

Kết hợp $e^{u}$ và $\frac{1}{16}$ .

$- 7 \frac{x e^{4 x - 2} - \frac{e^{u}}{16} \cdot 4}{4} + C$

Bước 10.2.7

Nhân $4$ với $- 1$ .

$- 7 \frac{x e^{4 x - 2} - 4 \frac{e^{u}}{16}}{4} + C$

Bước 10.2.8

Kết hợp $- 4$ và $\frac{e^{u}}{16}$ .

$- 7 \frac{x e^{4 x - 2} + \frac{- 4 e^{u}}{16}}{4} + C$

Bước 10.2.9

Triệt tiêu thừa số chung của $- 4$ và $16$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.9.1

Đưa $4$ ra ngoài $- 4 e^{u}$ .

$- 7 \frac{x e^{4 x - 2} + \frac{4 (- e^{u})}{16}}{4} + C$

Bước 10.2.9.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.9.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $16$ .

$- 7 \frac{x e^{4 x - 2} + \frac{4 (- e^{u})}{4 (4)}}{4} + C$

Bước 10.2.9.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 7 \frac{x e^{4 x - 2} + \frac{4 (- e^{u})}{4 \cdot 4}}{4} + C$

Bước 10.2.9.2.3

Viết lại biểu thức.

$- 7 \frac{x e^{4 x - 2} + \frac{- e^{u}}{4}}{4} + C$

Bước 10.2.10

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- 7 \frac{x e^{4 x - 2} - \frac{e^{u}}{4}}{4} + C$

Bước 10.2.11

Để viết $x e^{4 x - 2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$- 7 \frac{x e^{4 x - 2} \cdot \frac{4}{4} - \frac{e^{u}}{4}}{4} + C$

Bước 10.2.12

Kết hợp $x e^{4 x - 2}$ và $\frac{4}{4}$ .

$- 7 \frac{\frac{x e^{4 x - 2} \cdot 4}{4} - \frac{e^{u}}{4}}{4} + C$

Bước 10.2.13

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- 7 \frac{\frac{x e^{4 x - 2} \cdot 4 - e^{u}}{4}}{4} + C$

Bước 10.2.14

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $x e^{4 x - 2}$ .

$- 7 \frac{\frac{4 \cdot (x e^{4 x - 2}) - e^{u}}{4}}{4} + C$

Bước 10.2.15

Viết lại $\frac{\frac{4 x e^{4 x - 2} - e^{u}}{4}}{4}$ ở dạng một tích.

$- 7 (\frac{4 x e^{4 x - 2} - e^{u}}{4} \cdot \frac{1}{4}) + C$

Bước 10.2.16

Nhân $\frac{4 x e^{4 x - 2} - e^{u}}{4}$ với $\frac{1}{4}$ .

$- 7 \frac{4 x e^{4 x - 2} - e^{u}}{4 \cdot 4} + C$

Bước 10.2.17

Nhân $4$ với $4$ .

$- 7 \frac{4 x e^{4 x - 2} - e^{u}}{16} + C$

Bước 10.2.18

Kết hợp $- 7$ và $\frac{4 x e^{4 x - 2} - e^{u}}{16}$ .

$\frac{- 7 (4 x e^{4 x - 2} - e^{u})}{16} + C$

Bước 10.2.19

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{7 (4 x e^{4 x - 2} - e^{u})}{16} + C$

Bước 11

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $4 x - 2$ .

$- \frac{7 (4 x e^{4 x - 2} - e^{4 x - 2})}{16} + C$

Bước 12

Sắp xếp lại các số hạng.

$- \frac{7}{16} (4 x e^{4 x - 2} - e^{4 x - 2}) + C$