Giải tích Ví dụ

$\int \frac{{(1 + 3 x)}^{2}}{\sqrt[3]{x}} d x$

Bước 1

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\int \frac{{(1 + 3 x)}^{2}}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

Bước 1.2

Di chuyển $x^{\frac{1}{3}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\int {(1 + 3 x)}^{2} {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d x$

Bước 1.3

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(1 + 3 x)}^{2} x^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d x$

Bước 1.3.2

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $- 1$ .

$\int {(1 + 3 x)}^{2} x^{\frac{- 1}{3}} d x$

Bước 1.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int {(1 + 3 x)}^{2} x^{- \frac{1}{3}} d x$

Bước 2

Giả sử $u_{1} = 1 + 3 x$ . Sau đó $d u_{1} = 3 d x$ , nên $\frac{1}{3} d u_{1} = d x$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u_{1} = 1 + 3 x$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $1 + 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + 3 x]$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + 3 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Bước 2.1.2.2

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [3 x]$

Bước 2.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 3 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$0 + 3 \cdot 1$

Bước 2.1.3.3

Nhân $3$ với $1$ .

$0 + 3$

Bước 2.1.4

Cộng $0$ và $3$ .

$3$

Bước 2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$\int {u_{1}}^{2} {(\frac{u_{1}}{3} - \frac{1}{3})}^{- \frac{1}{3}} \frac{1}{3} d u_{1}$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và ${u_{1}}^{2}$ .

$\int \frac{{u_{1}}^{2}}{3} {(\frac{u_{1}}{3} - \frac{1}{3})}^{- \frac{1}{3}} d u_{1}$

Bước 3.2

Kết hợp $\frac{{u_{1}}^{2}}{3}$ và ${(\frac{u_{1}}{3} - \frac{1}{3})}^{- \frac{1}{3}}$ .

$\int \frac{{u_{1}}^{2} {(\frac{u_{1}}{3} - \frac{1}{3})}^{- \frac{1}{3}}}{3} d u_{1}$

Bước 3.3

Di chuyển ${(\frac{u_{1}}{3} - \frac{1}{3})}^{- \frac{1}{3}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\int \frac{{u_{1}}^{2}}{3 {(\frac{u_{1}}{3} - \frac{1}{3})}^{\frac{1}{3}}} d u_{1}$

Bước 4

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{3} \int \frac{{u_{1}}^{2}}{{(\frac{u_{1}}{3} - \frac{1}{3})}^{\frac{1}{3}}} d u_{1}$

Bước 5

Giả sử $u_{2} = \frac{u_{1}}{3} - \frac{1}{3}$ . Sau đó $d u_{2} = \frac{1}{3} d u_{1}$ , nên $3 d u_{2} = d u_{1}$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Hãy đặt $u_{2} = \frac{u_{1}}{3} - \frac{1}{3}$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Tính đạo hàm $\frac{u_{1}}{3} - \frac{1}{3}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{3} - \frac{1}{3}]$

Bước 5.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{u_{1}}{3} - \frac{1}{3}$ đối với $u_{1}$ là $\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{3}] + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{1}{3}]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{3}] + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{1}{3}]$

Bước 5.1.3

Tính $\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.3.1

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $u_{1}$ , nên đạo hàm của $\frac{u_{1}}{3}$ đối với $u_{1}$ là $\frac{1}{3} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{1}{3}]$

Bước 5.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{1}{3}]$

Bước 5.1.3.3

Nhân $\frac{1}{3}$ với $1$ .

$\frac{1}{3} + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{1}{3}]$

Bước 5.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.4.1

Vì $- \frac{1}{3}$ là hằng số đối với $u_{1}$ , đạo hàm của $- \frac{1}{3}$ đối với $u_{1}$ là $0$ .

$\frac{1}{3} + 0$

Bước 5.1.4.2

Cộng $\frac{1}{3}$ và $0$ .

$\frac{1}{3}$

Bước 5.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{{(3 u_{2} + 1)}^{2}}{{u_{2}}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{1}{\frac{1}{3}} d u_{2}$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{{(3 u_{2} + 1)}^{2}}{{u_{2}}^{\frac{1}{3}}} (1 \cdot 3) d u_{2}$

Bước 6.2

Nhân $3$ với $1$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{{(3 u_{2} + 1)}^{2}}{{u_{2}}^{\frac{1}{3}}} \cdot 3 d u_{2}$

Bước 6.3

Kết hợp $\frac{{(3 u_{2} + 1)}^{2}}{{u_{2}}^{\frac{1}{3}}}$ và $3$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{{(3 u_{2} + 1)}^{2} \cdot 3}{{u_{2}}^{\frac{1}{3}}} d u_{2}$

Bước 6.4

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của ${(3 u_{2} + 1)}^{2}$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{3 {(3 u_{2} + 1)}^{2}}{{u_{2}}^{\frac{1}{3}}} d u_{2}$

Bước 7

Vì $3$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{3} (3 \int \frac{{(3 u_{2} + 1)}^{2}}{{u_{2}}^{\frac{1}{3}}} d u_{2})$

Bước 8

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1

Kết hợp $3$ và $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} \int \frac{{(3 u_{2} + 1)}^{2}}{{u_{2}}^{\frac{1}{3}}} d u_{2}$

Bước 8.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3}{3} \int \frac{{(3 u_{2} + 1)}^{2}}{{u_{2}}^{\frac{1}{3}}} d u_{2}$

Bước 8.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$1 \int \frac{{(3 u_{2} + 1)}^{2}}{{u_{2}}^{\frac{1}{3}}} d u_{2}$

Bước 8.1.3

Nhân $\int \frac{{(3 u_{2} + 1)}^{2}}{{u_{2}}^{\frac{1}{3}}} d u_{2}$ với $1$ .

$\int \frac{{(3 u_{2} + 1)}^{2}}{{u_{2}}^{\frac{1}{3}}} d u_{2}$

Bước 8.2

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Di chuyển ${u_{2}}^{\frac{1}{3}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\int {(3 u_{2} + 1)}^{2} {({u_{2}}^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d u_{2}$

Bước 8.2.2

Nhân các số mũ trong ${({u_{2}}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(3 u_{2} + 1)}^{2} {u_{2}}^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d u_{2}$

Bước 8.2.2.2

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $- 1$ .

$\int {(3 u_{2} + 1)}^{2} {u_{2}}^{\frac{- 1}{3}} d u_{2}$

Bước 8.2.2.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int {(3 u_{2} + 1)}^{2} {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Viết lại ${(3 u_{2} + 1)}^{2}$ ở dạng $(3 u_{2} + 1) (3 u_{2} + 1)$ .

$\int (3 u_{2} + 1) (3 u_{2} + 1) {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

Bước 9.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int (3 u_{2} (3 u_{2} + 1) + 1 (3 u_{2} + 1)) {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

Bước 9.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int (3 u_{2} (3 u_{2}) + 3 u_{2} \cdot 1 + 1 (3 u_{2} + 1)) {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

Bước 9.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int (3 u_{2} (3 u_{2}) + 3 u_{2} \cdot 1 + 1 (3 u_{2}) + 1 \cdot 1) {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

Bước 9.5

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int (3 u_{2} (3 u_{2}) + 3 u_{2} \cdot 1) {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + (1 (3 u_{2}) + 1 \cdot 1) {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

Bước 9.6

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int 3 u_{2} (3 u_{2}) {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 3 u_{2} \cdot 1 {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + (1 (3 u_{2}) + 1 \cdot 1) {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

Bước 9.7

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int 3 u_{2} (3 u_{2}) {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 3 u_{2} \cdot 1 {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 1 (3 u_{2}) {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

Bước 9.8

Di chuyển $u_{2}$ .

$\int 3 \cdot 3 u_{2} \cdot u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 3 u_{2} \cdot 1 {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 1 (3 u_{2}) {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

Bước 9.9

Di chuyển $u_{2}$ .

$\int 3 \cdot 3 u_{2} \cdot u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 3 \cdot 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 1 (3 u_{2}) {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

Bước 9.10

Nhân $3$ với $3$ .

$\int 9 u_{2} \cdot u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 3 \cdot 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 1 \cdot 3 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

Bước 9.11

Nâng $u_{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$\int 9 ({u_{2}}^{1} u_{2}) {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 3 \cdot 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 1 \cdot 3 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

Bước 9.12

Nâng $u_{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$\int 9 ({u_{2}}^{1} {u_{2}}^{1}) {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 3 \cdot 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 1 \cdot 3 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

Bước 9.13

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int 9 {u_{2}}^{1 + 1} {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 3 \cdot 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 1 \cdot 3 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

Bước 9.14

Cộng $1$ và $1$ .

$\int 9 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 3 \cdot 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 1 \cdot 3 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

Bước 9.15

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int 9 {u_{2}}^{2 - \frac{1}{3}} + 3 \cdot 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 1 \cdot 3 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

Bước 9.16

Để viết $2$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\int 9 {u_{2}}^{2 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}} + 3 \cdot 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 1 \cdot 3 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

Bước 9.17

Kết hợp $2$ và $\frac{3}{3}$ .

$\int 9 {u_{2}}^{\frac{2 \cdot 3}{3} - \frac{1}{3}} + 3 \cdot 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 1 \cdot 3 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

Bước 9.18

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\int 9 {u_{2}}^{\frac{2 \cdot 3 - 1}{3}} + 3 \cdot 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 1 \cdot 3 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

Bước 9.19

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.19.1

Nhân $2$ với $3$ .

$\int 9 {u_{2}}^{\frac{6 - 1}{3}} + 3 \cdot 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 1 \cdot 3 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

Bước 9.19.2

Trừ $1$ khỏi $6$ .

$\int 9 {u_{2}}^{\frac{5}{3}} + 3 \cdot 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 1 \cdot 3 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

Bước 9.20

Nhân $3$ với $1$ .

$\int 9 {u_{2}}^{\frac{5}{3}} + 3 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 1 \cdot 3 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

Bước 9.21

Nâng $u_{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$\int 9 {u_{2}}^{\frac{5}{3}} + 3 ({u_{2}}^{1} {u_{2}}^{- \frac{1}{3}}) + 1 \cdot 3 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

Bước 9.22

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int 9 {u_{2}}^{\frac{5}{3}} + 3 {u_{2}}^{1 - \frac{1}{3}} + 1 \cdot 3 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

Bước 9.23

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\int 9 {u_{2}}^{\frac{5}{3}} + 3 {u_{2}}^{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}} + 1 \cdot 3 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

Bước 9.24

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\int 9 {u_{2}}^{\frac{5}{3}} + 3 {u_{2}}^{\frac{3 - 1}{3}} + 1 \cdot 3 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

Bước 9.25

Trừ $1$ khỏi $3$ .

$\int 9 {u_{2}}^{\frac{5}{3}} + 3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}} + 1 \cdot 3 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

Bước 9.26

Nhân $3$ với $1$ .

$\int 9 {u_{2}}^{\frac{5}{3}} + 3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}} + 3 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

Bước 9.27

Nâng $u_{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$\int 9 {u_{2}}^{\frac{5}{3}} + 3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}} + 3 ({u_{2}}^{1} {u_{2}}^{- \frac{1}{3}}) + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

Bước 9.28

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int 9 {u_{2}}^{\frac{5}{3}} + 3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}} + 3 {u_{2}}^{1 - \frac{1}{3}} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

Bước 9.29

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\int 9 {u_{2}}^{\frac{5}{3}} + 3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}} + 3 {u_{2}}^{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

Bước 9.30

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\int 9 {u_{2}}^{\frac{5}{3}} + 3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}} + 3 {u_{2}}^{\frac{3 - 1}{3}} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

Bước 9.31

Trừ $1$ khỏi $3$ .

$\int 9 {u_{2}}^{\frac{5}{3}} + 3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}} + 3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

Bước 9.32

Nhân $1$ với $1$ .

$\int 9 {u_{2}}^{\frac{5}{3}} + 3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}} + 3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}} + 1 {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

Bước 9.33

Nhân ${u_{2}}^{- \frac{1}{3}}$ với $1$ .

$\int 9 {u_{2}}^{\frac{5}{3}} + 3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}} + 3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}} + {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

Bước 9.34

Cộng $3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}$ và $3 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}$ .

$\int 9 {u_{2}}^{\frac{5}{3}} + 6 {u_{2}}^{\frac{2}{3}} + {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

Bước 10

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int 9 {u_{2}}^{\frac{5}{3}} d u_{2} + \int 6 {u_{2}}^{\frac{2}{3}} d u_{2} + \int {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

Bước 11

Vì $9$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $9$ ra khỏi tích phân.

$9 \int {u_{2}}^{\frac{5}{3}} d u_{2} + \int 6 {u_{2}}^{\frac{2}{3}} d u_{2} + \int {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

Bước 12

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của ${u_{2}}^{\frac{5}{3}}$ đối với $u_{2}$ là $\frac{3}{8} {u_{2}}^{\frac{8}{3}}$ .

$9 (\frac{3}{8} {u_{2}}^{\frac{8}{3}} + C) + \int 6 {u_{2}}^{\frac{2}{3}} d u_{2} + \int {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

Bước 13

Vì $6$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $6$ ra khỏi tích phân.

$9 (\frac{3}{8} {u_{2}}^{\frac{8}{3}} + C) + 6 \int {u_{2}}^{\frac{2}{3}} d u_{2} + \int {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

Bước 14

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của ${u_{2}}^{\frac{2}{3}}$ đối với $u_{2}$ là $\frac{3}{5} {u_{2}}^{\frac{5}{3}}$ .

$9 (\frac{3}{8} {u_{2}}^{\frac{8}{3}} + C) + 6 (\frac{3}{5} {u_{2}}^{\frac{5}{3}} + C) + \int {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

Bước 15

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của ${u_{2}}^{- \frac{1}{3}}$ đối với $u_{2}$ là $\frac{3}{2} {u_{2}}^{\frac{2}{3}}$ .

$9 (\frac{3}{8} {u_{2}}^{\frac{8}{3}} + C) + 6 (\frac{3}{5} {u_{2}}^{\frac{5}{3}} + C) + \frac{3}{2} {u_{2}}^{\frac{2}{3}} + C$

Bước 16

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1.1

Kết hợp $\frac{3}{8}$ và ${u_{2}}^{\frac{8}{3}}$ .

$9 (\frac{3 {u_{2}}^{\frac{8}{3}}}{8} + C) + 6 (\frac{3}{5} {u_{2}}^{\frac{5}{3}} + C) + \frac{3}{2} {u_{2}}^{\frac{2}{3}} + C$

Bước 16.1.2

Kết hợp $\frac{3}{5}$ và ${u_{2}}^{\frac{5}{3}}$ .

$9 (\frac{3 {u_{2}}^{\frac{8}{3}}}{8} + C) + 6 (\frac{3 {u_{2}}^{\frac{5}{3}}}{5} + C) + \frac{3}{2} {u_{2}}^{\frac{2}{3}} + C$

Bước 16.2

Rút gọn.

$\frac{27 {u_{2}}^{\frac{8}{3}}}{8} + \frac{18 {u_{2}}^{\frac{5}{3}}}{5} + \frac{3}{2} {u_{2}}^{\frac{2}{3}} + C$

Bước 17

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $\frac{u_{1}}{3} - \frac{1}{3}$ .

$\frac{27 {(\frac{u_{1}}{3} - \frac{1}{3})}^{\frac{8}{3}}}{8} + \frac{18 {(\frac{u_{1}}{3} - \frac{1}{3})}^{\frac{5}{3}}}{5} + \frac{3}{2} {(\frac{u_{1}}{3} - \frac{1}{3})}^{\frac{2}{3}} + C$

Bước 17.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $1 + 3 x$ .

$\frac{27 {(\frac{1 + 3 x}{3} - \frac{1}{3})}^{\frac{8}{3}}}{8} + \frac{18 {(\frac{1 + 3 x}{3} - \frac{1}{3})}^{\frac{5}{3}}}{5} + \frac{3}{2} {(\frac{1 + 3 x}{3} - \frac{1}{3})}^{\frac{2}{3}} + C$

Bước 18

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{27}{8} {(\frac{1}{3} (1 + 3 x) - \frac{1}{3})}^{\frac{8}{3}} + \frac{18}{5} {(\frac{1}{3} (1 + 3 x) - \frac{1}{3})}^{\frac{5}{3}} + \frac{3}{2} {(\frac{1}{3} (1 + 3 x) - \frac{1}{3})}^{\frac{2}{3}} + C$