Giải tích Ví dụ

$\int \sin (9 t) + \sin (2 t) d t$

Bước 1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int \sin (9 t) d t + \int \sin (2 t) d t$

Bước 2

Giả sử $u_{1} = 9 t$ . Sau đó $d u_{1} = 9 d t$ , nên $\frac{1}{9} d u_{1} = d t$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u_{1} = 9 t$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $9 t$ .

$\frac{d}{d t} [9 t]$

Bước 2.1.2

Vì $9$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $9 t$ đối với $t$ là $9 \frac{d}{d t} [t]$ .

$9 \frac{d}{d t} [t]$

Bước 2.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$9 \cdot 1$

Bước 2.1.4

Nhân $9$ với $1$ .

$9$

Bước 2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$\int \sin (u_{1}) \frac{1}{9} d u_{1} + \int \sin (2 t) d t$

Bước 3

Kết hợp $\sin (u_{1})$ và $\frac{1}{9}$ .

$\int \frac{\sin (u_{1})}{9} d u_{1} + \int \sin (2 t) d t$

Bước 4

Vì $\frac{1}{9}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{9}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{9} \int \sin (u_{1}) d u_{1} + \int \sin (2 t) d t$

Bước 5

Tích phân của $\sin (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $- \cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{9} (- \cos (u_{1}) + C) + \int \sin (2 t) d t$

Bước 6

Giả sử $u_{2} = 2 t$ . Sau đó $d u_{2} = 2 d t$ , nên $\frac{1}{2} d u_{2} = d t$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Hãy đặt $u_{2} = 2 t$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Tính đạo hàm $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Bước 6.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $2 t$ đối với $t$ là $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Bước 6.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 6.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 6.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$\frac{1}{9} (- \cos (u_{1}) + C) + \int \sin (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}$

Bước 7

Kết hợp $\sin (u_{2})$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{9} (- \cos (u_{1}) + C) + \int \frac{\sin (u_{2})}{2} d u_{2}$

Bước 8

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{9} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{2} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

Bước 9

Tích phân của $\sin (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $- \cos (u_{2})$ .

$\frac{1}{9} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{2} (- \cos (u_{2}) + C)$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Rút gọn.

$- \frac{\cos (u_{1})}{9} + \frac{1}{2} (- \cos (u_{2})) + C$

Bước 10.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\cos (u_{2})$ .

$- \frac{\cos (u_{1})}{9} - \frac{\cos (u_{2})}{2} + C$

Bước 11

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $9 t$ .

$- \frac{\cos (9 t)}{9} - \frac{\cos (u_{2})}{2} + C$

Bước 11.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $2 t$ .

$- \frac{\cos (9 t)}{9} - \frac{\cos (2 t)}{2} + C$

Bước 12

Sắp xếp lại các số hạng.

$- \frac{1}{9} \cos (9 t) - \frac{1}{2} \cos (2 t) + C$