Giải tích Ví dụ

$\int_{\ln (27)}^{\ln (216)} e^{\frac{x}{3}} d x$

Bước 1

Giả sử $u = \frac{x}{3}$ . Sau đó $d u = \frac{1}{3} d x$ , nên $3 d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = \frac{x}{3}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $\frac{x}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Bước 1.1.2

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{x}{3}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1$

Bước 1.1.4

Nhân $\frac{1}{3}$ với $1$ .

$\frac{1}{3}$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = \frac{x}{3}$ .

$u_{lower} = \frac{\ln (27)}{3}$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Viết lại $\ln (27)$ ở dạng $\ln (3^{3})$ .

$u_{lower} = \frac{\ln (3^{3})}{3}$

Bước 1.3.2

Khai triển $\ln (3^{3})$ bằng cách di chuyển $3$ ra bên ngoài lôgarit.

$u_{lower} = \frac{3 \ln (3)}{3}$

Bước 1.3.3

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$u_{lower} = \frac{3 \ln (3)}{3}$

Bước 1.3.3.2

Chia $\ln (3)$ cho $1$ .

$u_{lower} = \ln (3)$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = \frac{x}{3}$ .

$u_{upper} = \frac{\ln (216)}{3}$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Viết lại $\frac{\ln (216)}{3}$ ở dạng $\frac{1}{3} \ln (216)$ .

$u_{upper} = \frac{1}{3} \ln (216)$

Bước 1.5.2

Rút gọn $\frac{1}{3} \ln (216)$ bằng cách di chuyển $\frac{1}{3}$ trong logarit.

$u_{upper} = \ln (216^{\frac{1}{3}})$

Bước 1.5.3

Viết lại $216$ ở dạng $6^{3}$ .

$u_{upper} = \ln ({(6^{3})}^{\frac{1}{3}})$

Bước 1.5.4

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = \ln (6^{3 (\frac{1}{3})})$

Bước 1.5.5

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$u_{upper} = \ln (6^{3 (\frac{1}{3})})$

Bước 1.5.5.2

Viết lại biểu thức.

$u_{upper} = \ln (6^{1})$

Bước 1.5.6

Tính số mũ.

$u_{upper} = \ln (6)$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = \ln (3)$

$u_{upper} = \ln (6)$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{\ln (3)}^{\ln (6)} e^{u} \frac{1}{\frac{1}{3}} d u$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{1}{3}$ .

$\int_{\ln (3)}^{\ln (6)} e^{u} (1 \cdot 3) d u$

Bước 2.2

Nhân $3$ với $1$ .

$\int_{\ln (3)}^{\ln (6)} e^{u} \cdot 3 d u$

Bước 2.3

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $e^{u}$ .

$\int_{\ln (3)}^{\ln (6)} 3 e^{u} d u$

Bước 3

Vì $3$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$3 \int_{\ln (3)}^{\ln (6)} e^{u} d u$

Bước 4

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$3 (e^{u}]_{\ln (3)}^{\ln (6)})$

Bước 5

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tính $e^{u}$ tại $\ln (6)$ và tại $\ln (3)$ .

$3 ((e^{\ln (6)}) - e^{\ln (3)})$

Bước 5.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$3 (6 - e^{\ln (3)})$

Bước 5.2.2

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$3 (6 - 1 \cdot 3)$

Bước 5.2.3

Nhân $- 1$ với $3$ .

$3 (6 - 3)$

Bước 5.2.4

Trừ $3$ khỏi $6$ .

$3 \cdot 3$

Bước 5.2.5

Nhân $3$ với $3$ .

$9$

Bước 6