Giải tích Ví dụ

$\int_{- \frac{π}{4}}^{\frac{7 π}{4}} \sin (x) + \cos (x) d x$

Bước 1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{- \frac{π}{4}}^{\frac{7 π}{4}} \sin (x) d x + \int_{- \frac{π}{4}}^{\frac{7 π}{4}} \cos (x) d x$

Bước 2

Tích phân của $\sin (x)$ đối với $x$ là $- \cos (x)$ .

$- \cos (x)]_{- \frac{π}{4}}^{\frac{7 π}{4}} + \int_{- \frac{π}{4}}^{\frac{7 π}{4}} \cos (x) d x$

Bước 3

Tích phân của $\cos (x)$ đối với $x$ là $\sin (x)$ .

$- \cos (x)]_{- \frac{π}{4}}^{\frac{7 π}{4}} + \sin (x)]_{- \frac{π}{4}}^{\frac{7 π}{4}}$

Bước 4

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Kết hợp $- \cos (x)]_{- \frac{π}{4}}^{\frac{7 π}{4}}$ và $\sin (x)]_{- \frac{π}{4}}^{\frac{7 π}{4}}$ .

$- \cos (x) + \sin (x)]_{- \frac{π}{4}}^{\frac{7 π}{4}}$

Bước 4.2

Tính $- \cos (x) + \sin (x)$ tại $\frac{7 π}{4}$ và tại $- \frac{π}{4}$ .

$- \cos (\frac{7 π}{4}) + \sin (\frac{7 π}{4}) - (- \cos (- \frac{π}{4}) + \sin (- \frac{π}{4}))$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất.

$- \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{7 π}{4}) - (- \cos (- \frac{π}{4}) + \sin (- \frac{π}{4}))$

Bước 5.1.2

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (\frac{7 π}{4}) - (- \cos (- \frac{π}{4}) + \sin (- \frac{π}{4}))$

Bước 5.1.3

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì sin âm trong góc phần tư thứ tư.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (\frac{π}{4}) - (- \cos (- \frac{π}{4}) + \sin (- \frac{π}{4}))$

Bước 5.1.4

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - (- \cos (- \frac{π}{4}) + \sin (- \frac{π}{4}))$

Bước 5.1.5

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.5.1

Cộng vòng quay hoàn chỉnh của $2 π$ cho đến khi góc lớn hơn hoặc bằng $0$ và nhỏ hơn $2 π$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - (- \cos (\frac{7 π}{4}) + \sin (- \frac{π}{4}))$

Bước 5.1.5.2

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - (- \cos (\frac{π}{4}) + \sin (- \frac{π}{4}))$

Bước 5.1.5.3

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - (- \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (- \frac{π}{4}))$

Bước 5.1.5.4

Cộng vòng quay hoàn chỉnh của $2 π$ cho đến khi góc lớn hơn hoặc bằng $0$ và nhỏ hơn $2 π$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - (- \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (\frac{7 π}{4}))$

Bước 5.1.5.5

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - (- \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (\frac{π}{4}))$

Bước 5.1.5.6

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - (- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})$

Bước 5.1.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{- \sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

Bước 5.1.7

Trừ $\sqrt{2}$ khỏi $- \sqrt{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{- 2 \sqrt{2}}{2}$

Bước 5.1.8

Triệt tiêu thừa số chung của $- 2$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.8.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 \sqrt{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 (- \sqrt{2})}{2}$

Bước 5.1.8.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.8.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (1)}$

Bước 5.1.8.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Bước 5.1.8.2.3

Viết lại biểu thức.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{- \sqrt{2}}{1}$

Bước 5.1.8.2.4

Chia $- \sqrt{2}$ cho $1$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - - \sqrt{2}$

Bước 5.1.9

Nhân $- - \sqrt{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.9.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + 1 \sqrt{2}$

Bước 5.1.9.2

Nhân $\sqrt{2}$ với $1$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{2}$

Bước 5.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\sqrt{2} + \frac{- \sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

Bước 5.3

Trừ $\sqrt{2}$ khỏi $- \sqrt{2}$ .

$\sqrt{2} + \frac{- 2 \sqrt{2}}{2}$

Bước 5.4

Triệt tiêu thừa số chung của $- 2$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 \sqrt{2}$ .

$\sqrt{2} + \frac{2 (- \sqrt{2})}{2}$

Bước 5.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\sqrt{2} + \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (1)}$

Bước 5.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\sqrt{2} + \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Bước 5.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$\sqrt{2} + \frac{- \sqrt{2}}{1}$

Bước 5.4.2.4

Chia $- \sqrt{2}$ cho $1$ .

$\sqrt{2} - \sqrt{2}$

Bước 5.5

Trừ $\sqrt{2}$ khỏi $\sqrt{2}$ .

$0$