Giải tích Ví dụ

$\int 6 x^{3} {(1 + x^{8})}^{- 1} d x$

Bước 1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\int 6 x^{3} \frac{1}{1 + x^{8}} d x$

Bước 1.2

Nhân $6 x^{3} \frac{1}{1 + x^{8}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Kết hợp $6$ và $\frac{1}{1 + x^{8}}$ .

$\int x^{3} \frac{6}{1 + x^{8}} d x$

Bước 1.2.2

Kết hợp $x^{3}$ và $\frac{6}{1 + x^{8}}$ .

$\int \frac{x^{3} \cdot 6}{1 + x^{8}} d x$

Bước 1.3

Di chuyển $6$ sang phía bên trái của $x^{3}$ .

$\int \frac{6 x^{3}}{1 + x^{8}} d x$

Bước 2

Vì $6$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $6$ ra khỏi tích phân.

$6 \int \frac{x^{3}}{1 + x^{8}} d x$

Bước 3

Viết lại $x^{8}$ ở dạng ${(x^{4})}^{2}$ .

$6 \int \frac{x^{3}}{1 + {(x^{4})}^{2}} d x$

Bước 4

Giả sử $u = x^{4}$ . Sau đó $d u = 4 x^{3} d x$ , nên $\frac{1}{4} d u = x^{3} d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Hãy đặt $u = x^{4}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Tính đạo hàm $x^{4}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}]$

Bước 4.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$4 x^{3}$

Bước 4.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$6 \int \frac{1}{1 + u^{2}} \cdot \frac{1}{4} d u$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Nhân $\frac{1}{1 + u^{2}}$ với $\frac{1}{4}$ .

$6 \int \frac{1}{(1 + u^{2}) \cdot 4} d u$

Bước 5.2

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $1 + u^{2}$ .

$6 \int \frac{1}{4 (1 + u^{2})} d u$

Bước 6

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{4}$ ra khỏi tích phân.

$6 (\frac{1}{4} \int \frac{1}{1 + u^{2}} d u)$

Bước 7

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $6$ .

$\frac{6}{4} \int \frac{1}{1 + u^{2}} d u$

Bước 7.1.2

Triệt tiêu thừa số chung của $6$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$\frac{2 (3)}{4} \int \frac{1}{1 + u^{2}} d u$

Bước 7.1.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{1 + u^{2}} d u$

Bước 7.1.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{1 + u^{2}} d u$

Bước 7.1.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{1 + u^{2}} d u$

Bước 7.2

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{1^{2} + u^{2}} d u$

Bước 8

Tích phân của $\frac{1}{1^{2} + u^{2}}$ đối với $u$ là $\arctan (u) + C$ .

$\frac{3}{2} (\arctan (u) + C)$

Bước 9

Rút gọn.

$\frac{3}{2} \arctan (u) + C$

Bước 10

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{4}$ .

$\frac{3}{2} \arctan (x^{4}) + C$