Giải tích Ví dụ

$\int 9 \csc^{2} (6 x - 2) d x$

Bước 1

Vì $9$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $9$ ra khỏi tích phân.

$9 \int \csc^{2} (6 x - 2) d x$

Bước 2

Giả sử $u = 6 x - 2$ . Sau đó $d u = 6 d x$ , nên $\frac{1}{6} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u = 6 x - 2$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $6 x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [6 x - 2]$

Bước 2.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $6 x - 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Bước 2.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Vì $6$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $6 x$ đối với $x$ là $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Bước 2.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Bước 2.1.3.3

Nhân $6$ với $1$ .

$6 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Bước 2.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.4.1

Vì $- 2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 2$ đối với $x$ là $0$ .

$6 + 0$

Bước 2.1.4.2

Cộng $6$ và $0$ .

$6$

Bước 2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$9 \int \csc^{2} (u) \frac{1}{6} d u$

Bước 3

Kết hợp $\csc^{2} (u)$ và $\frac{1}{6}$ .

$9 \int \frac{\csc^{2} (u)}{6} d u$

Bước 4

Vì $\frac{1}{6}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{6}$ ra khỏi tích phân.

$9 (\frac{1}{6} \int \csc^{2} (u) d u)$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Kết hợp $\frac{1}{6}$ và $9$ .

$\frac{9}{6} \int \csc^{2} (u) d u$

Bước 5.2

Triệt tiêu thừa số chung của $9$ và $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $9$ .

$\frac{3 (3)}{6} \int \csc^{2} (u) d u$

Bước 5.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $6$ .

$\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 2} \int \csc^{2} (u) d u$

Bước 5.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 2} \int \csc^{2} (u) d u$

Bước 5.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{3}{2} \int \csc^{2} (u) d u$

Bước 6

Vì đạo hàm của $- \cot (u)$ là $\csc^{2} (u)$ , tích phân của $\csc^{2} (u)$ là $- \cot (u)$ .

$\frac{3}{2} (- \cot (u) + C)$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Rút gọn.

$\frac{3}{2} (- \cot (u)) + C$

Bước 7.2

Kết hợp $\frac{3}{2}$ và $\cot (u)$ .

$- \frac{3 \cot (u)}{2} + C$

Bước 8

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $6 x - 2$ .

$- \frac{3 \cot (6 x - 2)}{2} + C$

Bước 9

Sắp xếp lại các số hạng.

$- \frac{3}{2} \cot (6 x - 2) + C$