Giải tích Ví dụ

$\int \frac{7 x^{2} - 9 x + 54}{(x - 3) \cdot (x^{2} + 9)} d x$

Bước 1

Viết phân số bằng cách khai triển phân số từng phần.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Chia nhỏ phân số và nhân với mẫu số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Với mỗi thừa số dưới mẫu số, ta tạo một phân số mới dùng thừa số đó làm mẫu số và một ẩn số làm tử số. Vì thừa số dưới mẫu số tuyến tính nên ta đặt một biến đơn vào vị trí của nó $A$ .

$\frac{A}{x - 3}$

Bước 1.1.2

Với mỗi thừa số dưới mẫu số, ta tạo ra một phân số mới dùng thừa số đó làm mẫu số, và một ẩn số làm tử số. Vì thừa số có bậc 2, ta cần $2$ số hạng trên tử số. Số số hạng cần thiết trên tử số luôn bằng với số bậc của thừa số dưới mẫu.

$\frac{A}{x - 3} + \frac{B x + C}{x^{2} + 9}$

Bước 1.1.3

Nhân mỗi phân số trong phương trình với mẫu của của biểu thức ban đầu. Trong trường hợp này, mẫu số là $(x - 3) \cdot (x^{2} + 9)$ .

$\frac{(7 x^{2} - 9 x + 54) ((x - 3) \cdot (x^{2} + 9))}{(x - 3) \cdot (x^{2} + 9)} = \frac{(A) ((x - 3) \cdot (x^{2} + 9))}{x - 3} + \frac{(B x + C) ((x - 3) \cdot (x^{2} + 9))}{x^{2} + 9}$

Bước 1.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $x - 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{(7 x^{2} - 9 x + 54) ((x - 3) \cdot (x^{2} + 9))}{(x - 3) \cdot (x^{2} + 9)} = \frac{(A) ((x - 3) \cdot (x^{2} + 9))}{x - 3} + \frac{(B x + C) ((x - 3) \cdot (x^{2} + 9))}{x^{2} + 9}$

Bước 1.1.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{(7 x^{2} - 9 x + 54) (x^{2} + 9)}{x^{2} + 9} = \frac{(A) ((x - 3) \cdot (x^{2} + 9))}{x - 3} + \frac{(B x + C) ((x - 3) \cdot (x^{2} + 9))}{x^{2} + 9}$

Bước 1.1.5

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2} + 9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{(7 x^{2} - 9 x + 54) (x^{2} + 9)}{x^{2} + 9} = \frac{(A) ((x - 3) \cdot (x^{2} + 9))}{x - 3} + \frac{(B x + C) ((x - 3) \cdot (x^{2} + 9))}{x^{2} + 9}$

Bước 1.1.5.2

Chia $7 x^{2} - 9 x + 54$ cho $1$ .

$7 x^{2} - 9 x + 54 = \frac{(A) ((x - 3) \cdot (x^{2} + 9))}{x - 3} + \frac{(B x + C) ((x - 3) \cdot (x^{2} + 9))}{x^{2} + 9}$

Bước 1.1.6

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.6.1

Triệt tiêu thừa số chung $x - 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.6.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$7 x^{2} - 9 x + 54 = \frac{A ((x - 3) \cdot (x^{2} + 9))}{x - 3} + \frac{(B x + C) ((x - 3) \cdot (x^{2} + 9))}{x^{2} + 9}$

Bước 1.1.6.1.2

Chia $(A) (x^{2} + 9)$ cho $1$ .

$7 x^{2} - 9 x + 54 = (A) (x^{2} + 9) + \frac{(B x + C) ((x - 3) \cdot (x^{2} + 9))}{x^{2} + 9}$

Bước 1.1.6.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$7 x^{2} - 9 x + 54 = A x^{2} + A \cdot 9 + \frac{(B x + C) ((x - 3) \cdot (x^{2} + 9))}{x^{2} + 9}$

Bước 1.1.6.3

Di chuyển $9$ sang phía bên trái của $A$ .

$7 x^{2} - 9 x + 54 = A x^{2} + 9 \cdot A + \frac{(B x + C) ((x - 3) \cdot (x^{2} + 9))}{x^{2} + 9}$

Bước 1.1.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2} + 9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$7 x^{2} - 9 x + 54 = A x^{2} + 9 A + \frac{(B x + C) ((x - 3) \cdot (x^{2} + 9))}{x^{2} + 9}$

Bước 1.1.6.4.2

Chia $(B x + C) (x - 3)$ cho $1$ .

$7 x^{2} - 9 x + 54 = A x^{2} + 9 A + (B x + C) (x - 3)$

Bước 1.1.6.5

Khai triển $(B x + C) (x - 3)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.6.5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$7 x^{2} - 9 x + 54 = A x^{2} + 9 A + B x (x - 3) + C (x - 3)$

Bước 1.1.6.5.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$7 x^{2} - 9 x + 54 = A x^{2} + 9 A + B x \cdot x + B x \cdot - 3 + C (x - 3)$

Bước 1.1.6.5.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$7 x^{2} - 9 x + 54 = A x^{2} + 9 A + B x \cdot x + B x \cdot - 3 + C x + C \cdot - 3$

Bước 1.1.6.6

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.6.6.1

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.6.6.1.1

Di chuyển $x$ .

$7 x^{2} - 9 x + 54 = A x^{2} + 9 A + B (x \cdot x) + B x \cdot - 3 + C x + C \cdot - 3$

Bước 1.1.6.6.1.2

Nhân $x$ với $x$ .

$7 x^{2} - 9 x + 54 = A x^{2} + 9 A + B x^{2} + B x \cdot - 3 + C x + C \cdot - 3$

Bước 1.1.6.6.2

Di chuyển $- 3$ sang phía bên trái của $B x$ .

$7 x^{2} - 9 x + 54 = A x^{2} + 9 A + B x^{2} - 3 \cdot (B x) + C x + C \cdot - 3$

Bước 1.1.6.6.3

Di chuyển $- 3$ sang phía bên trái của $C$ .

$7 x^{2} - 9 x + 54 = A x^{2} + 9 A + B x^{2} - 3 B x + C x - 3 C$

Bước 1.1.7

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.7.1

Di chuyển $B$ .

$7 x^{2} - 9 x + 54 = A x^{2} + 9 A + B x^{2} - 3 x B + C x - 3 C$

Bước 1.1.7.2

Di chuyển $9 A$ .

$7 x^{2} - 9 x + 54 = A x^{2} + B x^{2} - 3 x B + C x + 9 A - 3 C$

Bước 1.2

Tạo các phương trình cho các biến của phân số từng phần và sử dụng chúng để lập một hệ phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Tạo một phương trình cho các biến phân số từng phần bằng cách đặt các hệ số của $x^{2}$ từ mỗi vế của phương trình bằng nhau. Để phương trình cân bằng, các hệ số tương ứng ở mỗi vế của phương trình phải bằng nhau.

$7 = A + B$

Bước 1.2.2

Tạo một phương trình cho các biến phân số từng phần bằng cách đặt các hệ số của $x$ từ mỗi vế của phương trình bằng nhau. Để phương trình cân bằng, các hệ số tương ứng ở mỗi vế của phương trình phải bằng nhau.

$- 9 = - 3 B + C$

Bước 1.2.3

Tạo một phương trình cho các biến phân số từng phần bằng cách đặt các hệ số của các số hạng không chứa $x$ bằng nhau. Để phương trình cân bằng, các hệ số tương ứng ở mỗi vế của phương trình phải bằng nhau.

$54 = 9 A - 3 C$

Bước 1.2.4

Lập hệ phương trình để tìm hệ số của các phân số từng phần.

$7 = A + B$

$- 9 = - 3 B + C$

$54 = 9 A - 3 C$

$7 = A + B$

$- 9 = - 3 B + C$

$54 = 9 A - 3 C$

Bước 1.3

Giải hệ phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Giải tìm $A$ trong $7 = A + B$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.1

Viết lại phương trình ở dạng $A + B = 7$ .

$A + B = 7$

$- 9 = - 3 B + C$

$54 = 9 A - 3 C$

Bước 1.3.1.2

Trừ $B$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$A = 7 - B$

$- 9 = - 3 B + C$

$54 = 9 A - 3 C$

$A = 7 - B$

$- 9 = - 3 B + C$

$54 = 9 A - 3 C$

Bước 1.3.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $A$ bằng $7 - B$ trong mỗi phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $A$ trong $54 = 9 A - 3 C$ bằng $7 - B$ .

$54 = 9 (7 - B) - 3 C$

$A = 7 - B$

$- 9 = - 3 B + C$

Bước 1.3.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.2.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$54 = 9 \cdot 7 + 9 (- B) - 3 C$

$A = 7 - B$

$- 9 = - 3 B + C$

Bước 1.3.2.2.1.2

Nhân $9$ với $7$ .

$54 = 63 + 9 (- B) - 3 C$

$A = 7 - B$

$- 9 = - 3 B + C$

Bước 1.3.2.2.1.3

Nhân $- 1$ với $9$ .

$54 = 63 - 9 B - 3 C$

$A = 7 - B$

$- 9 = - 3 B + C$

$54 = 63 - 9 B - 3 C$

$A = 7 - B$

$- 9 = - 3 B + C$

$54 = 63 - 9 B - 3 C$

$A = 7 - B$

$- 9 = - 3 B + C$

$54 = 63 - 9 B - 3 C$

$A = 7 - B$

$- 9 = - 3 B + C$

Bước 1.3.3

Sắp xếp lại $7$ và $- B$ .

$A = - B + 7$

$54 = 63 - 9 B - 3 C$

$- 9 = - 3 B + C$

Bước 1.3.4

Giải tìm $C$ trong $- 9 = - 3 B + C$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.4.1

Viết lại phương trình ở dạng $- 3 B + C = - 9$ .

$- 3 B + C = - 9$

$A = - B + 7$

$54 = 63 - 9 B - 3 C$

Bước 1.3.4.2

Cộng $3 B$ cho cả hai vế của phương trình.

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

$54 = 63 - 9 B - 3 C$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

$54 = 63 - 9 B - 3 C$

Bước 1.3.5

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $C$ bằng $- 9 + 3 B$ trong mỗi phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.5.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $C$ trong $54 = 63 - 9 B - 3 C$ bằng $- 9 + 3 B$ .

$54 = 63 - 9 B - 3 (- 9 + 3 B)$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

Bước 1.3.5.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.5.2.1

Rút gọn $63 - 9 B - 3 (- 9 + 3 B)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.5.2.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.5.2.1.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$54 = 63 - 9 B - 3 \cdot - 9 - 3 (3 B)$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

Bước 1.3.5.2.1.1.2

Nhân $- 3$ với $- 9$ .

$54 = 63 - 9 B + 27 - 3 (3 B)$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

Bước 1.3.5.2.1.1.3

Nhân $3$ với $- 3$ .

$54 = 63 - 9 B + 27 - 9 B$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

$54 = 63 - 9 B + 27 - 9 B$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

Bước 1.3.5.2.1.2

Rút gọn bằng cách cộng các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.5.2.1.2.1

Cộng $63$ và $27$ .

$54 = - 9 B + 90 - 9 B$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

Bước 1.3.5.2.1.2.2

Trừ $9 B$ khỏi $- 9 B$ .

$54 = - 18 B + 90$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

$54 = - 18 B + 90$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

$54 = - 18 B + 90$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

$54 = - 18 B + 90$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

$54 = - 18 B + 90$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

Bước 1.3.6

Giải tìm $B$ trong $54 = - 18 B + 90$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.6.1

Viết lại phương trình ở dạng $- 18 B + 90 = 54$ .

$- 18 B + 90 = 54$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

Bước 1.3.6.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $B$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.6.2.1

Trừ $90$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- 18 B = 54 - 90$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

Bước 1.3.6.2.2

Trừ $90$ khỏi $54$ .

$- 18 B = - 36$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

$- 18 B = - 36$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

Bước 1.3.6.3

Chia mỗi số hạng trong $- 18 B = - 36$ cho $- 18$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.6.3.1

Chia mỗi số hạng trong $- 18 B = - 36$ cho $- 18$ .

$\frac{- 18 B}{- 18} = \frac{- 36}{- 18}$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

Bước 1.3.6.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.6.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $- 18$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.6.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 18 B}{- 18} = \frac{- 36}{- 18}$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

Bước 1.3.6.3.2.1.2

Chia $B$ cho $1$ .

$B = \frac{- 36}{- 18}$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

$B = \frac{- 36}{- 18}$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

$B = \frac{- 36}{- 18}$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

Bước 1.3.6.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.6.3.3.1

Chia $- 36$ cho $- 18$ .

$B = 2$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

$B = 2$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

$B = 2$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

$B = 2$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

Bước 1.3.7

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $B$ bằng $2$ trong mỗi phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.7.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $B$ trong $C = - 9 + 3 B$ bằng $2$ .

$C = - 9 + 3 (2)$

$B = 2$

$A = - B + 7$

Bước 1.3.7.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.7.2.1

Rút gọn $- 9 + 3 (2)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.7.2.1.1

Nhân $3$ với $2$ .

$C = - 9 + 6$

$B = 2$

$A = - B + 7$

Bước 1.3.7.2.1.2

Cộng $- 9$ và $6$ .

$C = - 3$

$B = 2$

$A = - B + 7$

$C = - 3$

$B = 2$

$A = - B + 7$

$C = - 3$

$B = 2$

$A = - B + 7$

Bước 1.3.7.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $B$ trong $A = - B + 7$ bằng $2$ .

$A = - (2) + 7$

$C = - 3$

$B = 2$

Bước 1.3.7.4

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.7.4.1

Rút gọn $- (2) + 7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.7.4.1.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$A = - 2 + 7$

$C = - 3$

$B = 2$

Bước 1.3.7.4.1.2

Cộng $- 2$ và $7$ .

$A = 5$

$C = - 3$

$B = 2$

$A = 5$

$C = - 3$

$B = 2$

$A = 5$

$C = - 3$

$B = 2$

$A = 5$

$C = - 3$

$B = 2$

Bước 1.3.8

Liệt kê tất cả các đáp án.

$A = 5, C = - 3, B = 2$

Bước 1.4

Thay thế từng hệ số phân số từng phần trong $\frac{A}{x - 3} + \frac{B x + C}{x^{2} + 9}$ bằng các giá trị tìm được cho $A$ , $B$ và $C$ .

$\frac{5}{x - 3} + \frac{2 x - 3}{x^{2} + 9}$

Bước 1.5

Nhân $2$ với $x$ .

$\int \frac{5}{x - 3} + \frac{2 x - 3}{x^{2} + 9} d x$

Bước 2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int \frac{5}{x - 3} d x + \int \frac{2 x - 3}{x^{2} + 9} d x$

Bước 3

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $5$ ra khỏi tích phân.

$5 \int \frac{1}{x - 3} d x + \int \frac{2 x - 3}{x^{2} + 9} d x$

Bước 4

Giả sử $u_{1} = x - 3$ . Sau đó $d u_{1} = d x$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Hãy đặt $u_{1} = x - 3$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Tính đạo hàm $x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [x - 3]$

Bước 4.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Bước 4.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Bước 4.1.4

Vì $- 3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 3$ đối với $x$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 4.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 4.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$5 \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{2 x - 3}{x^{2} + 9} d x$

Bước 5

Tích phân của $\frac{1}{u_{1}}$ đối với $u_{1}$ là $\ln (| u_{1} |)$ .

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{2 x - 3}{x^{2} + 9} d x$

Bước 6

Tách phân số $\frac{2 x - 3}{x^{2} + 9}$ thành hai phân số.

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{2 x}{x^{2} + 9} + \frac{- 3}{x^{2} + 9} d x$

Bước 7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{2 x}{x^{2} + 9} - \frac{3}{x^{2} + 9} d x$

Bước 8

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{2 x}{x^{2} + 9} d x + \int - \frac{3}{x^{2} + 9} d x$

Bước 9

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + 2 \int \frac{x}{x^{2} + 9} d x + \int - \frac{3}{x^{2} + 9} d x$

Bước 10

Giả sử $u_{2} = x^{2} + 9$ . Sau đó $d u_{2} = 2 x d x$ , nên $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Hãy đặt $u_{2} = x^{2} + 9$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.1

Tính đạo hàm $x^{2} + 9$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Bước 10.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 9$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Bước 10.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [9]$

Bước 10.1.4

Vì $9$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $9$ đối với $x$ là $0$ .

$2 x + 0$

Bước 10.1.5

Cộng $2 x$ và $0$ .

$2 x$

Bước 10.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + 2 \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2} + \int - \frac{3}{x^{2} + 9} d x$

Bước 11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Nhân $\frac{1}{u_{2}}$ với $\frac{1}{2}$ .

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + 2 \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2} + \int - \frac{3}{x^{2} + 9} d x$

Bước 11.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $u_{2}$ .

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + 2 \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2} + \int - \frac{3}{x^{2} + 9} d x$

Bước 12

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}) + \int - \frac{3}{x^{2} + 9} d x$

Bước 13

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} + \int - \frac{3}{x^{2} + 9} d x$

Bước 13.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} + \int - \frac{3}{x^{2} + 9} d x$

Bước 13.2.2

Viết lại biểu thức.

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + 1 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} + \int - \frac{3}{x^{2} + 9} d x$

Bước 13.3

Nhân $\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$ với $1$ .

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} + \int - \frac{3}{x^{2} + 9} d x$

Bước 14

Tích phân của $\frac{1}{u_{2}}$ đối với $u_{2}$ là $\ln (| u_{2} |)$ .

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + \ln (| u_{2} |) + C + \int - \frac{3}{x^{2} + 9} d x$

Bước 15

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + \ln (| u_{2} |) + C - \int \frac{3}{x^{2} + 9} d x$

Bước 16

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + \ln (| u_{2} |) + C - (3 \int \frac{1}{x^{2} + 9} d x)$

Bước 17

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1

Nhân $3$ với $- 1$ .

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + \ln (| u_{2} |) + C - 3 \int \frac{1}{x^{2} + 9} d x$

Bước 17.2

Sắp xếp lại $x^{2}$ và $9$ .

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + \ln (| u_{2} |) + C - 3 \int \frac{1}{9 + x^{2}} d x$

Bước 17.3

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + \ln (| u_{2} |) + C - 3 \int \frac{1}{3^{2} + x^{2}} d x$

Bước 18

Tích phân của $\frac{1}{3^{2} + x^{2}}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} \arctan (\frac{x}{3}) + C$ .

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + \ln (| u_{2} |) + C - 3 (\frac{1}{3} \arctan (\frac{x}{3}) + C)$

Bước 19

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $\arctan (\frac{x}{3})$ .

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + \ln (| u_{2} |) + C - 3 (\frac{\arctan (\frac{x}{3})}{3} + C)$

Bước 19.2

Rút gọn.

$5 \ln (| u_{1} |) + \ln (| u_{2} |) - \arctan (\frac{x}{3}) + C$

Bước 20

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 20.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $x - 3$ .

$5 \ln (| x - 3 |) + \ln (| u_{2} |) - \arctan (\frac{x}{3}) + C$

Bước 20.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $x^{2} + 9$ .

$5 \ln (| x - 3 |) + \ln (| x^{2} + 9 |) - \arctan (\frac{x}{3}) + C$

Bước 21

Sắp xếp lại các số hạng.

$5 \ln (| x - 3 |) + \ln (| x^{2} + 9 |) - \arctan (\frac{1}{3} x) + C$