Giải tích Ví dụ

$\int \frac{1}{x \sqrt{9 - 4 x^{2}}} d x$

Bước 1

Giả sử $x = \frac{3}{2} \sin (t)$ , trong đó $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Sau đó $d x = \frac{3 \cos (t)}{2} d t$ . Lưu ý rằng vì $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , nên $\frac{3 \cos (t)}{2}$ dương.

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 - 4 {(\frac{3}{2} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Bước 2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Rút gọn $\sqrt{9 - 4 {(\frac{3}{2} \sin (t))}^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.1

Kết hợp $\frac{3}{2}$ và $\sin (t)$ .

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 - 4 {(\frac{3 \sin (t)}{2})}^{2}}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Bước 2.1.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ để phân phối các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.2.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{3 \sin (t)}{2}$ .

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 - 4 \frac{{(3 \sin (t))}^{2}}{2^{2}}}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Bước 2.1.1.2.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $3 \sin (t)$ .

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 - 4 \frac{3^{2} \sin^{2} (t)}{2^{2}}}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Bước 2.1.1.3

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 - 4 \frac{9 \sin^{2} (t)}{2^{2}}}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Bước 2.1.1.4

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 - 4 \frac{9 \sin^{2} (t)}{4}}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Bước 2.1.1.5

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.5.1

Đưa $4$ ra ngoài $- 4$ .

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 + 4 (- 1) \frac{9 \sin^{2} (t)}{4}}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Bước 2.1.1.5.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 + 4 \cdot - 1 \frac{9 \sin^{2} (t)}{4}}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Bước 2.1.1.5.3

Viết lại biểu thức.

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 - 1 (9 \sin^{2} (t))}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Bước 2.1.1.6

Nhân $9$ với $- 1$ .

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 - 9 \sin^{2} (t)}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Bước 2.1.2

Đưa $9$ ra ngoài $9$ .

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 (1) - 9 \sin^{2} (t)}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Bước 2.1.3

Đưa $9$ ra ngoài $- 9 \sin^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Bước 2.1.4

Đưa $9$ ra ngoài $9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 (1 - \sin^{2} (t))}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Bước 2.1.5

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 \cos^{2} (t)}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Bước 2.1.6

Viết lại $9 \cos^{2} (t)$ ở dạng ${(3 \cos (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{{(3 \cos (t))}^{2}}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Bước 2.1.7

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) (3 \cos (t))} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Bước 2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Kết hợp $\frac{3}{2}$ và $\sin (t)$ .

$\int \frac{1}{\frac{3 \sin (t)}{2} (3 \cos (t))} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Bước 2.2.2

Kết hợp $3$ và $\frac{3 \sin (t)}{2}$ .

$\int \frac{1}{\frac{3 (3 \sin (t))}{2} \cos (t)} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Bước 2.2.3

Nhân $3$ với $3$ .

$\int \frac{1}{\frac{9 \sin (t)}{2} \cos (t)} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Bước 2.2.4

Kết hợp $\frac{9 \sin (t)}{2}$ và $\cos (t)$ .

$\int \frac{1}{\frac{9 \sin (t) \cos (t)}{2}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Bước 2.2.5

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{9 \sin (t) \cos (t)}{2}$ .

$\int 1 \frac{2}{9 \sin (t) \cos (t)} \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Bước 2.2.6

Nhân $\frac{2}{9 \sin (t) \cos (t)}$ với $1$ .

$\int \frac{2}{9 \sin (t) \cos (t)} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Bước 2.2.7

Nhân $\frac{2}{9 \sin (t) \cos (t)}$ với $\frac{3 \cos (t)}{2}$ .

$\int \frac{2 (3 \cos (t))}{9 \sin (t) \cos (t) \cdot 2} d t$

Bước 2.2.8

Nhân $3$ với $2$ .

$\int \frac{6 \cos (t)}{9 \sin (t) \cos (t) \cdot 2} d t$

Bước 2.2.9

Nhân $2$ với $9$ .

$\int \frac{6 \cos (t)}{18 \sin (t) \cos (t)} d t$

Bước 2.2.10

Triệt tiêu thừa số chung của $6$ và $18$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.10.1

Đưa $6$ ra ngoài $6 \cos (t)$ .

$\int \frac{6 (\cos (t))}{18 \sin (t) \cos (t)} d t$

Bước 2.2.10.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.10.2.1

Đưa $6$ ra ngoài $18 \sin (t) \cos (t)$ .

$\int \frac{6 (\cos (t))}{6 (3 \sin (t) \cos (t))} d t$

Bước 2.2.10.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \frac{6 \cos (t)}{6 (3 \sin (t) \cos (t))} d t$

Bước 2.2.10.2.3

Viết lại biểu thức.

$\int \frac{\cos (t)}{3 \sin (t) \cos (t)} d t$

Bước 2.2.11

Triệt tiêu thừa số chung $\cos (t)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.11.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \frac{\cos (t)}{3 \sin (t) \cos (t)} d t$

Bước 2.2.11.2

Viết lại biểu thức.

$\int \frac{1}{3 \sin (t)} d t$

Bước 3

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{\sin (t)} d t$

Bước 4

Quy đổi từ $\frac{1}{\sin (t)}$ sang $\csc (t)$ .

$\frac{1}{3} \int \csc (t) d t$

Bước 5

Tích phân của $\csc (t)$ đối với $t$ là $\ln (| \csc (t) - \cot (t) |)$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C)$

Bước 6

Rút gọn.

$\frac{1}{3} \ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C$

Bước 7

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $t$ với $\arcsin (\frac{2 x}{3})$ .

$\frac{1}{3} \ln (| \csc (\arcsin (\frac{2 x}{3})) - \cot (\arcsin (\frac{2 x}{3})) |) + C$

Bước 8

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{3} \ln (| \csc (\arcsin (\frac{2}{3} x)) - \cot (\arcsin (\frac{2}{3} x)) |) + C$