Giải tích Ví dụ

$\int \frac{\ln (3 x)}{x^{2}} d x$

Bước 1

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Di chuyển $x^{2}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\int \ln (3 x) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Bước 1.2

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \ln (3 x) x^{2 \cdot - 1} d x$

Bước 1.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\int \ln (3 x) x^{- 2} d x$

Bước 2

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = \ln (3 x)$ và $d v = x^{- 2}$ .

$\ln (3 x) (- \frac{1}{x}) - \int - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Kết hợp $\ln (3 x)$ và $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{\ln (3 x)}{x} - \int - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Bước 3.2

Nhân $\frac{1}{x}$ với $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{\ln (3 x)}{x} - \int - \frac{1}{x \cdot x} d x$

Bước 3.3

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$- \frac{\ln (3 x)}{x} - \int - \frac{1}{x^{1} x} d x$

Bước 3.4

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$- \frac{\ln (3 x)}{x} - \int - \frac{1}{x^{1} x^{1}} d x$

Bước 3.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- \frac{\ln (3 x)}{x} - \int - \frac{1}{x^{1 + 1}} d x$

Bước 3.6

Cộng $1$ và $1$ .

$- \frac{\ln (3 x)}{x} - \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Bước 4

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \frac{\ln (3 x)}{x} - - \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Bước 5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$- \frac{\ln (3 x)}{x} + 1 \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Bước 5.1.2

Nhân $\int \frac{1}{x^{2}} d x$ với $1$ .

$- \frac{\ln (3 x)}{x} + \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Bước 5.2

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Di chuyển $x^{2}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$- \frac{\ln (3 x)}{x} + \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Bước 5.2.2

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\ln (3 x)}{x} + \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Bước 5.2.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- \frac{\ln (3 x)}{x} + \int x^{- 2} d x$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{- 2}$ đối với $x$ là $- x^{- 1}$ .

$- \frac{\ln (3 x)}{x} - x^{- 1} + C$

Bước 7

Viết lại $- \frac{\ln (3 x)}{x} - x^{- 1} + C$ ở dạng $- \frac{\ln (3 x)}{x} - \frac{1}{x} + C$ .

$- \frac{\ln (3 x)}{x} - \frac{1}{x} + C$