Giải tích Ví dụ

$\int \frac{\ln (3 t - 5)}{3 t - 5} d t$

Bước 1

Giả sử $u_{1} = 3 t - 5$ . Sau đó $d u_{1} = 3 d t$ , nên $\frac{1}{3} d u_{1} = d t$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u_{1} = 3 t - 5$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $3 t - 5$ .

$\frac{d}{d t} [3 t - 5]$

Bước 1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 t - 5$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 5]$ .

$\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 5]$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d t} [3 t]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $3$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $3 t$ đối với $t$ là $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 5]$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 5]$

Bước 1.1.3.3

Nhân $3$ với $1$ .

$3 + \frac{d}{d t} [- 5]$

Bước 1.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1

Vì $- 5$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $- 5$ đối với $t$ là $0$ .

$3 + 0$

Bước 1.1.4.2

Cộng $3$ và $0$ .

$3$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$\int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân $\frac{\ln (u_{1})}{u_{1}}$ với $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1} \cdot 3} d u_{1}$

Bước 2.2

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $u_{1}$ .

$\int \frac{\ln (u_{1})}{3 u_{1}} d u_{1}$

Bước 3

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{3} \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} d u_{1}$

Bước 4

Giả sử $u_{2} = \ln (u_{1})$ . Sau đó $d u_{2} = \frac{1}{u_{1}} d u_{1}$ , nên $u_{1} d u_{2} = d u_{1}$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Hãy đặt $u_{2} = \ln (u_{1})$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Tính đạo hàm $\ln (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})]$

Bước 4.1.2

Đạo hàm của $\ln (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}}$

Bước 4.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$\frac{1}{3} \int u_{2} d u_{2}$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u_{2}$ đối với $u_{2}$ là $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Viết lại $\frac{1}{3} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ ở dạng $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Bước 6.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Nhân $\frac{1}{3}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3 \cdot 2} {u_{2}}^{2} + C$

Bước 6.2.2

Nhân $3$ với $2$ .

$\frac{1}{6} {u_{2}}^{2} + C$

Bước 7

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $\ln (u_{1})$ .

$\frac{1}{6} \ln^{2} (u_{1}) + C$

Bước 7.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $3 t - 5$ .

$\frac{1}{6} \ln^{2} (3 t - 5) + C$