Giải tích Ví dụ

$\int \frac{\ln (1 + \sqrt{x})}{\sqrt{x}} d x$

Bước 1

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{\ln (1 + x^{\frac{1}{2}})}{\sqrt{x}} d x$

Bước 1.2

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{\ln (1 + x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Bước 1.3

Di chuyển $x^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\int \ln (1 + x^{\frac{1}{2}}) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Bước 1.4

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \ln (1 + x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Bước 1.4.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$\int \ln (1 + x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Bước 1.4.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int \ln (1 + x^{\frac{1}{2}}) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Bước 2

Giả sử $u = 1 + x^{\frac{1}{2}}$ . Sau đó $d u = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ , nên $- d u = \frac{- 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u = 1 + x^{\frac{1}{2}}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $1 + x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + x^{\frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 2.1.2.2

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 2.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$0 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

Bước 2.1.3.2

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$0 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Bước 2.1.3.3

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$0 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Bước 2.1.3.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$0 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Bước 2.1.3.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.5.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$0 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

Bước 2.1.3.5.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$0 + \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

Bước 2.1.3.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$0 + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Bước 2.1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.4.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 2.1.4.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.4.2.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$0 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 2.1.4.2.2

Cộng $0$ và $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int 2 \ln (u) d u$

Bước 3

Vì $2$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int \ln (u) d u$

Bước 4

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int w d v = w v - \int v d w$ , trong đó $w = \ln (u)$ và $dv = 1$ .

$2 (\ln (u) u - \int u \frac{1}{u} d u)$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Kết hợp $u$ và $\frac{1}{u}$ .

$2 (\ln (u) u - \int \frac{u}{u} d u)$

Bước 5.2

Triệt tiêu thừa số chung $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 (\ln (u) u - \int \frac{u}{u} d u)$

Bước 5.2.2

Viết lại biểu thức.

$2 (\ln (u) u - \int d u)$

Bước 6

Áp dụng quy tắc hằng số.

$2 (\ln (u) u - (u + C))$

Bước 7

Rút gọn.

$2 (\ln (u) u - u) + C$

Bước 8

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $1 + x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (\ln (1 + x^{\frac{1}{2}}) (1 + x^{\frac{1}{2}}) - (1 + x^{\frac{1}{2}})) + C$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 (\ln (1 + x^{\frac{1}{2}}) (1 + x^{\frac{1}{2}}) - 1 \cdot 1 - x^{\frac{1}{2}}) + C$

Bước 9.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$2 (\ln (1 + x^{\frac{1}{2}}) (1 + x^{\frac{1}{2}}) - 1 - x^{\frac{1}{2}}) + C$

Bước 9.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 (\ln (1 + x^{\frac{1}{2}}) (1 + x^{\frac{1}{2}})) + 2 \cdot - 1 + 2 (- x^{\frac{1}{2}}) + C$

Bước 9.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$2 \ln (1 + x^{\frac{1}{2}}) (1 + x^{\frac{1}{2}}) - 2 + 2 (- x^{\frac{1}{2}}) + C$

Bước 9.4.2

Nhân $- 1$ với $2$ .

$2 \ln (1 + x^{\frac{1}{2}}) (1 + x^{\frac{1}{2}}) - 2 - 2 x^{\frac{1}{2}} + C$