Giải tích Ví dụ

$\int \frac{\sin (\frac{5}{x})}{x^{2}} d x$

Bước 1

Giả sử $u = \frac{5}{x}$ . Sau đó $d u = - \frac{5}{x^{2}} d x$ , nên $1 d u = - \frac{5}{x^{2}} d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = \frac{5}{x}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $\frac{5}{x}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5}{x}]$

Bước 1.1.2

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{5}{x}$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Bước 1.1.3

Viết lại $\frac{1}{x}$ ở dạng $x^{- 1}$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Bước 1.1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$5 (- x^{- 2})$

Bước 1.1.5

Nhân $- 1$ với $5$ .

$- 5 x^{- 2}$

Bước 1.1.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.6.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 5 \frac{1}{x^{2}}$

Bước 1.1.6.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.6.2.1

Kết hợp $- 5$ và $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{- 5}{x^{2}}$

Bước 1.1.6.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{5}{x^{2}}$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int - \frac{1}{5} \sin (u) d u$

Bước 2

Vì $- \frac{1}{5}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- \frac{1}{5}$ ra khỏi tích phân.

$- \frac{1}{5} \int \sin (u) d u$

Bước 3

Tích phân của $\sin (u)$ đối với $u$ là $- \cos (u)$ .

$- \frac{1}{5} (- \cos (u) + C)$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Rút gọn.

$- \frac{1}{5} (- \cos (u)) + C$

Bước 4.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 (\frac{1}{5}) \cos (u) + C$

Bước 4.2.2

Nhân $\frac{1}{5}$ với $1$ .

$\frac{1}{5} \cos (u) + C$

Bước 4.2.3

Kết hợp $\frac{1}{5}$ và $\cos (u)$ .

$\frac{\cos (u)}{5} + C$

Bước 5

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\frac{5}{x}$ .

$\frac{\cos (\frac{5}{x})}{5} + C$

Bước 6

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{5} \cos (\frac{5}{x}) + C$