Giải tích Ví dụ

$\int_{\frac{π}{8}}^{\frac{π}{4}} 3 \csc (2 x) d x$

Bước 1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$3 \int_{\frac{π}{8}}^{\frac{π}{4}} \csc (2 x) d x$

Bước 2

Giả sử $u = 2 x$ . Sau đó $d u = 2 d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u = 2 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 2.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 2.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 2.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \frac{π}{8}$

Bước 2.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $8$ .

$u_{lower} = 2 \frac{π}{2 (4)}$

Bước 2.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$u_{lower} = 2 \frac{π}{2 \cdot 4}$

Bước 2.3.3

Viết lại biểu thức.

$u_{lower} = \frac{π}{4}$

Bước 2.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{4}$

Bước 2.5

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 (2)}$

Bước 2.5.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 \cdot 2}$

Bước 2.5.3

Viết lại biểu thức.

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Bước 2.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = \frac{π}{4}$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Bước 2.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$3 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \csc (u) \frac{1}{2} d u$

Bước 3

Kết hợp $\csc (u)$ và $\frac{1}{2}$ .

$3 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \frac{\csc (u)}{2} d u$

Bước 4

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$3 (\frac{1}{2} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \csc (u) d u)$

Bước 5

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $3$ .

$\frac{3}{2} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \csc (u) d u$

Bước 6

Tích phân của $\csc (u)$ đối với $u$ là $\ln (| \csc (u) - \cot (u) |)$ .

$\frac{3}{2} \ln (| \csc (u) - \cot (u) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}}$

Bước 7

Tính $\ln (| \csc (u) - \cot (u) |)$ tại $\frac{π}{2}$ và tại $\frac{π}{4}$ .

$\frac{3}{2} (\ln (| \csc (\frac{π}{2}) - \cot (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \csc (\frac{π}{4}) - \cot (\frac{π}{4}) |))$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Giá trị chính xác của $\csc (\frac{π}{2})$ là $1$ .

$\frac{3}{2} (\ln (| 1 - \cot (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \csc (\frac{π}{4}) - \cot (\frac{π}{4}) |))$

Bước 8.2

Giá trị chính xác của $\cot (\frac{π}{2})$ là $0$ .

$\frac{3}{2} (\ln (| 1 - 0 |) - \ln (| \csc (\frac{π}{4}) - \cot (\frac{π}{4}) |))$

Bước 8.3

Giá trị chính xác của $\csc (\frac{π}{4})$ là $\sqrt{2}$ .

$\frac{3}{2} (\ln (| 1 - 0 |) - \ln (| \sqrt{2} - \cot (\frac{π}{4}) |))$

Bước 8.4

Giá trị chính xác của $\cot (\frac{π}{4})$ là $1$ .

$\frac{3}{2} (\ln (| 1 - 0 |) - \ln (| \sqrt{2} - 1 \cdot 1 |))$

Bước 8.5

Nhân $- 1$ với $0$ .

$\frac{3}{2} (\ln (| 1 + 0 |) - \ln (| \sqrt{2} - 1 \cdot 1 |))$

Bước 8.6

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{3}{2} (\ln (| 1 |) - \ln (| \sqrt{2} - 1 \cdot 1 |))$

Bước 8.7

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{3}{2} (\ln (| 1 |) - \ln (| \sqrt{2} - 1 |))$

Bước 8.8

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{3}{2} \ln (\frac{| 1 |}{| \sqrt{2} - 1 |})$

Bước 8.9

Kết hợp $\frac{3}{2}$ và $\ln (\frac{| 1 |}{| \sqrt{2} - 1 |})$ .

$\frac{3 \ln (\frac{| 1 |}{| \sqrt{2} - 1 |})}{2}$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{3 \ln (\frac{1}{| \sqrt{2} - 1 |})}{2}$

Bước 9.2

$\sqrt{2} - 1$ xấp xỉ $0.41421356$ , là một số dương, nên ta loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối

$\frac{3 \ln (\frac{1}{\sqrt{2} - 1})}{2}$

Bước 10

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{3 \ln (\frac{1}{\sqrt{2} - 1})}{2}$

Dạng thập phân:

$1.32206038 \dots$