Giải tích Ví dụ

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \cos^{2} (x) d x$

Bước 1

Sử dụng công thức góc chia đôi để viết lại $\cos^{2} (x)$ ở dạng $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ .

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1 + \cos (2 x)}{2} d x$

Bước 2

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} 1 + \cos (2 x) d x$

Bước 3

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\frac{1}{2} (\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} d x + \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \cos (2 x) d x)$

Bước 4

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{2} (x]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} + \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \cos (2 x) d x)$

Bước 5

Giả sử $u = 2 x$ . Sau đó $d u = 2 d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Hãy đặt $u = 2 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Tính đạo hàm $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 5.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 5.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 5.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 5.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \frac{π}{4}$

Bước 5.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$u_{lower} = 2 \frac{π}{2 (2)}$

Bước 5.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$u_{lower} = 2 \frac{π}{2 \cdot 2}$

Bước 5.3.3

Viết lại biểu thức.

$u_{lower} = \frac{π}{2}$

Bước 5.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{3}$

Bước 5.5

Kết hợp $2$ và $\frac{π}{3}$ .

$u_{upper} = \frac{2 π}{3}$

Bước 5.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = \frac{π}{2}$

$u_{upper} = \frac{2 π}{3}$

Bước 5.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\frac{1}{2} (x]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Bước 6

Kết hợp $\cos (u)$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Bước 7

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} (x]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} + \frac{1}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \cos (u) d u)$

Bước 8

Tích phân của $\cos (u)$ đối với $u$ là $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (x]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}})$

Bước 9

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Tính $x$ tại $\frac{π}{3}$ và tại $\frac{π}{4}$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{π}{3}) - \frac{π}{4} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}})$

Bước 9.2

Tính $\sin (u)$ tại $\frac{2 π}{3}$ và tại $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{π}{3}) - \frac{π}{4} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

Bước 9.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Để viết $\frac{π}{3}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

Bước 9.3.2

Để viết $- \frac{π}{4}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

Bước 9.3.3

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $12$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.3.1

Nhân $\frac{π}{3}$ với $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π \cdot 4}{3 \cdot 4} - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

Bước 9.3.3.2

Nhân $3$ với $4$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π \cdot 4}{12} - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

Bước 9.3.3.3

Nhân $\frac{π}{4}$ với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π \cdot 4}{12} - \frac{π \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

Bước 9.3.3.4

Nhân $4$ với $3$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π \cdot 4}{12} - \frac{π \cdot 3}{12} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

Bước 9.3.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2} (\frac{π \cdot 4 - π \cdot 3}{12} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

Bước 9.3.5

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $π$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4 \cdot π - π \cdot 3}{12} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

Bước 9.3.6

Nhân $3$ với $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4 π - 3 π}{12} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

Bước 9.3.7

Trừ $3 π$ khỏi $4 π$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{12} + \frac{1}{2} (\sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (\frac{π}{2})))$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{2})$ là $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{12} + \frac{1}{2} (\sin (\frac{2 π}{3}) - 1 \cdot 1))$

Bước 10.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{12} + \frac{1}{2} (\sin (\frac{2 π}{3}) - 1))$

Bước 11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.1

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất.

$\frac{1}{2} (\frac{π}{12} + \frac{1}{2} (\sin (\frac{π}{3}) - 1))$

Bước 11.1.2

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{3})$ là $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{12} + \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} - 1))$

Bước 11.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{2} (\frac{π}{12} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} \cdot - 1)$

Bước 11.3

Nhân $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot - 1)$

Bước 11.3.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{12} + \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2} \cdot - 1)$

Bước 11.4

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{12} + \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{- 1}{2})$

Bước 11.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{2} (\frac{π}{12} + \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{1}{2})$

Bước 11.6

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π}{12} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$

Bước 11.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.7.1

Nhân $\frac{1}{2} \cdot \frac{π}{12}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.7.1.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{π}{12}$ .

$\frac{π}{2 \cdot 12} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$

Bước 11.7.1.2

Nhân $2$ với $12$ .

$\frac{π}{24} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$

Bước 11.7.2

Nhân $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.7.2.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{\sqrt{3}}{4}$ .

$\frac{π}{24} + \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 4} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$

Bước 11.7.2.2

Nhân $2$ với $4$ .

$\frac{π}{24} + \frac{\sqrt{3}}{8} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$

Bước 11.7.3

Nhân $\frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.7.3.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\frac{π}{24} + \frac{\sqrt{3}}{8} - \frac{1}{2 \cdot 2}$

Bước 11.7.3.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{π}{24} + \frac{\sqrt{3}}{8} - \frac{1}{4}$

Bước 12

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{π}{24} + \frac{\sqrt{3}}{8} - \frac{1}{4}$

Dạng thập phân:

$0.09740604 \dots$