Giải tích Ví dụ

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (x) \cos (x) d x$

Bước 1

Giả sử $u = \sin (x)$ . Sau đó $d u = \cos (x) d x$ , nên $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = \sin (x)$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 1.1.2

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = \sin (x)$ .

$u_{lower} = \sin (\frac{π}{4})$

Bước 1.3

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$u_{lower} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = \sin (x)$ .

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

Bước 1.5

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{2})$ là $1$ .

$u_{upper} = 1$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$u_{upper} = 1$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{1} u^{3} d u$

Bước 2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{3}$ đối với $u$ là $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{4} u^{4}]_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{1}$

Bước 3

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tính $\frac{1}{4} u^{4}$ tại $1$ và tại $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{1}{4} \cdot 1^{4}) - \frac{1}{4} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{4}$

Bước 3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{1}{4} \cdot 1 - \frac{1}{4} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{4}$

Bước 3.2.2

Nhân $\frac{1}{4}$ với $1$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{4}$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{{\sqrt{2}}^{4}}{2^{4}}$

Bước 4.1.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Viết lại ${\sqrt{2}}^{4}$ ở dạng $2^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{4}}{2^{4}}$

Bước 4.1.2.1.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{2^{4}}$

Bước 4.1.2.1.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $4$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2^{\frac{4}{2}}}{2^{4}}$

Bước 4.1.2.1.4

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{2^{4}}$

Bước 4.1.2.1.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1.4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{2^{4}}$

Bước 4.1.2.1.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{2^{4}}$

Bước 4.1.2.1.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2^{\frac{2}{1}}}{2^{4}}$

Bước 4.1.2.1.4.2.4

Chia $2$ cho $1$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2^{2}}{2^{4}}$

Bước 4.1.2.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{2^{4}}$

Bước 4.1.3

Nâng $2$ lên lũy thừa $4$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{16}$

Bước 4.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.4.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{4}$ vào tử số.

$\frac{1}{4} + \frac{- 1}{4} \cdot \frac{4}{16}$

Bước 4.1.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{4} + \frac{- 1}{4} \cdot \frac{4}{16}$

Bước 4.1.4.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{4} - \frac{1}{16}$

Bước 4.2

Để viết $\frac{1}{4}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{16}$

Bước 4.3

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $16$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Nhân $\frac{1}{4}$ với $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4}{4 \cdot 4} - \frac{1}{16}$

Bước 4.3.2

Nhân $4$ với $4$ .

$\frac{4}{16} - \frac{1}{16}$

Bước 4.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{4 - 1}{16}$

Bước 4.5

Trừ $1$ khỏi $4$ .

$\frac{3}{16}$

Bước 5

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{3}{16}$

Dạng thập phân:

$0.1875$