Giải tích Ví dụ

$\int_{\frac{π}{3}}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin (x)}{\sqrt{1 + \cos (x)}} d x$

Bước 1

Giả sử $u = 1 + \cos (x)$ . Sau đó $d u = - \sin (x) d x$ , nên $- d u = \sin (x) d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = 1 + \cos (x)$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $1 + \cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + \cos (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Bước 1.1.2.2

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Bước 1.1.3

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$0 - \sin (x)$

Bước 1.1.4

Trừ $\sin (x)$ khỏi $0$ .

$- \sin (x)$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = 1 + \cos (x)$ .

$u_{lower} = 1 + \cos (\frac{π}{3})$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{3})$ là $\frac{1}{2}$ .

$u_{lower} = 1 + \frac{1}{2}$

Bước 1.3.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$u_{lower} = \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

Bước 1.3.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$u_{lower} = \frac{2 + 1}{2}$

Bước 1.3.4

Cộng $2$ và $1$ .

$u_{lower} = \frac{3}{2}$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = 1 + \cos (x)$ .

$u_{upper} = 1 + \cos (\frac{π}{2})$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{2})$ là $0$ .

$u_{upper} = 1 + 0$

Bước 1.5.2

Cộng $1$ và $0$ .

$u_{upper} = 1$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = \frac{3}{2}$

$u_{upper} = 1$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{\frac{3}{2}}^{1} \frac{- 1}{\sqrt{u}} d u$

Bước 2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int_{\frac{3}{2}}^{1} - \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Bước 3

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \int_{\frac{3}{2}}^{1} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Bước 4

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \int_{\frac{3}{2}}^{1} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Bước 4.2

Di chuyển $u^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$- \int_{\frac{3}{2}}^{1} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Bước 4.3

Nhân các số mũ trong ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int_{\frac{3}{2}}^{1} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Bước 4.3.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$- \int_{\frac{3}{2}}^{1} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Bước 4.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \int_{\frac{3}{2}}^{1} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{- \frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$- (2 u^{\frac{1}{2}}]_{\frac{3}{2}}^{1})$

Bước 6

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tính $2 u^{\frac{1}{2}}$ tại $1$ và tại $\frac{3}{2}$ .

$- ((2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}) - 2 {(\frac{3}{2})}^{\frac{1}{2}})$

Bước 6.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$- (2 \cdot 1 - 2 {(\frac{3}{2})}^{\frac{1}{2}})$

Bước 6.2.2

Nhân $2$ với $1$ .

$- (2 - 2 {(\frac{3}{2})}^{\frac{1}{2}})$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- 1 \cdot 2 - (- 2 {(\frac{3}{2})}^{\frac{1}{2}})$

Bước 7.2

Nhân $- 1$ với $2$ .

$- 2 - (- 2 {(\frac{3}{2})}^{\frac{1}{2}})$

Bước 7.3

Nhân $- 2$ với $- 1$ .

$- 2 + 2 {(\frac{3}{2})}^{\frac{1}{2}}$

Bước 8

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$- 2 + 2 {(\frac{3}{2})}^{\frac{1}{2}}$

Dạng thập phân:

$0.44948974 \dots$