Giải tích Ví dụ

$\int \frac{\csc (\sqrt{x}) \cot (\sqrt{x})}{\sqrt{x}} d x$

Bước 1

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{\csc (x^{\frac{1}{2}}) \cot (\sqrt{x})}{\sqrt{x}} d x$

Bước 1.2

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{\csc (x^{\frac{1}{2}}) \cot (x^{\frac{1}{2}})}{\sqrt{x}} d x$

Bước 1.3

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{\csc (x^{\frac{1}{2}}) \cot (x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Bước 1.4

Di chuyển $x^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\int \csc (x^{\frac{1}{2}}) \cot (x^{\frac{1}{2}}) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Bước 1.5

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \csc (x^{\frac{1}{2}}) \cot (x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Bước 1.5.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$\int \csc (x^{\frac{1}{2}}) \cot (x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Bước 1.5.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int \csc (x^{\frac{1}{2}}) \cot (x^{\frac{1}{2}}) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Bước 2

Giả sử $u = x^{\frac{1}{2}}$ . Sau đó $d u = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ , nên $- d u = \frac{- 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u = x^{\frac{1}{2}}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

Bước 2.1.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Bước 2.1.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Bước 2.1.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Bước 2.1.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

Bước 2.1.6.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

Bước 2.1.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Bước 2.1.8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.8.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 2.1.8.2

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int 2 (\csc (u) \cot (u)) d u$

Bước 3

Vì $2$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int \csc (u) \cot (u) d u$

Bước 4

Vì đạo hàm của $- \csc (u)$ là $\csc (u) \cot (u)$ , tích phân của $\csc (u) \cot (u)$ là $- \csc (u)$ .

$2 (- \csc (u) + C)$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Rút gọn.

$2 (- \csc (u)) + C$

Bước 5.2

Nhân $- 1$ với $2$ .

$- 2 \csc (u) + C$

Bước 6

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- 2 \csc (x^{\frac{1}{2}}) + C$