Giải tích Ví dụ

$\int e^{2 x} \cos (4 x) d x$

Bước 1

Sắp xếp lại $e^{2 x}$ và $\cos (4 x)$ .

$\int \cos (4 x) e^{2 x} d x$

Bước 2

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = \cos (4 x)$ và $d v = e^{2 x}$ .

$\cos (4 x) (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (- 4 \sin (4 x)) d x$

Bước 3

Vì $\frac{1}{2} \cdot - 4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2} \cdot - 4$ ra khỏi tích phân.

$\cos (4 x) (\frac{1}{2} e^{2 x}) - (\frac{1}{2} \cdot - 4 \int e^{2 x} (\sin (4 x)) d x)$

Bước 4

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $e^{2 x}$ .

$\cos (4 x) \frac{e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot - 4 \int e^{2 x} (\sin (4 x)) d x)$

Bước 4.2

Kết hợp $\cos (4 x)$ và $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot - 4 \int e^{2 x} (\sin (4 x)) d x)$

Bước 4.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 4$ .

$\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - (\frac{- 4}{2} \int e^{2 x} (\sin (4 x)) d x)$

Bước 4.4

Sắp xếp lại $e^{2 x}$ và $\sin (4 x)$ .

$\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - (\frac{- 4}{2} \int \sin (4 x) e^{2 x} d x)$

Bước 5

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = \sin (4 x)$ và $d v = e^{2 x}$ .

$\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - (\frac{- 4}{2} (\sin (4 x) (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (4 \cos (4 x)) d x))$

Bước 6

Vì $\frac{1}{2} \cdot 4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2} \cdot 4$ ra khỏi tích phân.

$\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - (\frac{- 4}{2} (\sin (4 x) (\frac{1}{2} e^{2 x}) - (\frac{1}{2} \cdot 4 \int e^{2 x} (\cos (4 x)) d x)))$

Bước 7

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $e^{2 x}$ .

$\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - (\frac{- 4}{2} (\sin (4 x) \frac{e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 4 \int e^{2 x} (\cos (4 x)) d x)))$

Bước 7.2

Kết hợp $\sin (4 x)$ và $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - (\frac{- 4}{2} (\frac{\sin (4 x) e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 4 \int e^{2 x} (\cos (4 x)) d x)))$

Bước 7.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $4$ .

$\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - (\frac{- 4}{2} (\frac{\sin (4 x) e^{2 x}}{2} - (\frac{4}{2} \int e^{2 x} (\cos (4 x)) d x)))$

Bước 7.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - \frac{- 4}{2} \cdot \frac{\sin (4 x) e^{2 x}}{2} - \frac{- 4}{2} (- (\frac{4}{2} \int e^{2 x} (\cos (4 x)) d x))$

Bước 7.5

Nhân $\frac{\sin (4 x) e^{2 x}}{2}$ với $\frac{- 4}{2}$ .

$\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - \frac{\sin (4 x) e^{2 x} \cdot - 4}{2 \cdot 2} - \frac{- 4}{2} (- (\frac{4}{2} \int e^{2 x} (\cos (4 x)) d x))$

Bước 7.6

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.6.1

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - \frac{\sin (4 x) e^{2 x} \cdot - 4}{4} - \frac{- 4}{2} (- (\frac{4}{2} \int e^{2 x} (\cos (4 x)) d x))$

Bước 7.6.2

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - \frac{\sin (4 x) e^{2 x} \cdot - 4}{4} + 1 (\frac{- 4}{2}) (\frac{4}{2} \int e^{2 x} (\cos (4 x)) d x)$

Bước 7.6.3

Nhân $\frac{- 4}{2}$ với $1$ .

$\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - \frac{\sin (4 x) e^{2 x} \cdot - 4}{4} + \frac{- 4}{2} (\frac{4}{2} \int e^{2 x} (\cos (4 x)) d x)$

Bước 7.7

Nhân $\frac{4}{2}$ với $\frac{- 4}{2}$ .

$\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - \frac{\sin (4 x) e^{2 x} \cdot - 4}{4} + \frac{4 \cdot - 4}{2 \cdot 2} \int e^{2 x} (\cos (4 x)) d x$

Bước 7.8

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.8.1

Nhân $4$ với $- 4$ .

$\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - \frac{\sin (4 x) e^{2 x} \cdot - 4}{4} + \frac{- 16}{2 \cdot 2} \int e^{2 x} (\cos (4 x)) d x$

Bước 7.8.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - \frac{\sin (4 x) e^{2 x} \cdot - 4}{4} + \frac{- 16}{4} \int e^{2 x} (\cos (4 x)) d x$

Bước 8

Khi giải tìm $\int e^{2 x} \cos (4 x) d x$ , chúng ta thấy rằng $\int e^{2 x} \cos (4 x) d x$ = $\frac{\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - \frac{\sin (4 x) e^{2 x} \cdot - 4}{4}}{\frac{20}{4}}$ .

$\frac{\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - \frac{\sin (4 x) e^{2 x} \cdot - 4}{4}}{\frac{20}{4}} + C$

Bước 9

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Di chuyển $- 4$ sang phía bên trái của $\sin (4 x) e^{2 x}$ .

$\frac{\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - \frac{- 4 \cdot (\sin (4 x) e^{2 x})}{4}}{\frac{20}{4}} + C$

Bước 9.1.2

Triệt tiêu thừa số chung của $- 4$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $- 4 \sin (4 x) e^{2 x}$ .

$\frac{\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - \frac{4 (- \sin (4 x) e^{2 x})}{4}}{\frac{20}{4}} + C$

Bước 9.1.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.2.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$\frac{\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - \frac{4 (- \sin (4 x) e^{2 x})}{4 (1)}}{\frac{20}{4}} + C$

Bước 9.1.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - \frac{4 (- \sin (4 x) e^{2 x})}{4 \cdot 1}}{\frac{20}{4}} + C$

Bước 9.1.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - \frac{- \sin (4 x) e^{2 x}}{1}}{\frac{20}{4}} + C$

Bước 9.1.2.2.4

Chia $- \sin (4 x) e^{2 x}$ cho $1$ .

$\frac{\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - (- \sin (4 x) e^{2 x})}{\frac{20}{4}} + C$

Bước 9.1.3

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} + 1 (\sin (4 x) e^{2 x})}{\frac{20}{4}} + C$

Bước 9.1.4

Nhân $\sin (4 x)$ với $1$ .

$\frac{\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} + \sin (4 x) e^{2 x}}{\frac{20}{4}} + C$

Bước 9.1.5

Triệt tiêu thừa số chung của $20$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.5.1

Đưa $4$ ra ngoài $20$ .

$\frac{\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} + \sin (4 x) e^{2 x}}{\frac{4 \cdot 5}{4}} + C$

Bước 9.1.5.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.5.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$\frac{\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} + \sin (4 x) e^{2 x}}{\frac{4 \cdot 5}{4 (1)}} + C$

Bước 9.1.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} + \sin (4 x) e^{2 x}}{\frac{4 \cdot 5}{4 \cdot 1}} + C$

Bước 9.1.5.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} + \sin (4 x) e^{2 x}}{\frac{5}{1}} + C$

Bước 9.1.5.2.4

Chia $5$ cho $1$ .

$\frac{\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} + \sin (4 x) e^{2 x}}{5} + C$

Bước 9.1.6

Nhân $\frac{\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} + \sin (4 x) e^{2 x}}{5}$ với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{2} \cdot \frac{\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} + \sin (4 x) e^{2 x}}{5} + C$

Bước 9.1.7

Kết hợp.

$\frac{2 (\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} + \sin (4 x) e^{2 x})}{2 \cdot 5} + C$

Bước 9.1.8

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 \frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} + 2 (\sin (4 x) e^{2 x})}{2 \cdot 5} + C$

Bước 9.1.9

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.9.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} + 2 (\sin (4 x) e^{2 x})}{2 \cdot 5} + C$

Bước 9.1.9.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{\cos (4 x) e^{2 x} + 2 (\sin (4 x) e^{2 x})}{2 \cdot 5} + C$

Bước 9.1.10

Nhân $2$ với $5$ .

$\frac{\cos (4 x) e^{2 x} + 2 \sin (4 x) e^{2 x}}{10} + C$

Bước 9.2

Viết lại $\frac{\cos (4 x) e^{2 x} + 2 \sin (4 x) e^{2 x}}{10} + C$ ở dạng $\frac{1}{10} (\cos (4 x) e^{2 x} + 2 \sin (4 x) e^{2 x}) + C$ .

$\frac{1}{10} (\cos (4 x) e^{2 x} + 2 \sin (4 x) e^{2 x}) + C$