Giải tích Ví dụ

$\int \frac{9}{x \ln (7 x)} d x$

Bước 1

Vì $9$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $9$ ra khỏi tích phân.

$9 \int \frac{1}{x \ln (7 x)} d x$

Bước 2

Giả sử $u_{2} = \ln (7 x)$ . Sau đó $d u_{2} = \frac{1}{x} d x$ , nên $x d u_{2} = d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u_{2} = \ln (7 x)$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $\ln (7 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (7 x)]$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = 7 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $7 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [7 x]$

Bước 2.1.2.2

Đạo hàm của $\ln (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [7 x]$

Bước 2.1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $7 x$ .

$\frac{1}{7 x} \frac{d}{d x} [7 x]$

Bước 2.1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Vì $7$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $7 x$ đối với $x$ là $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{7 x} (7 \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.1.3.2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.2.1

Kết hợp $7$ và $\frac{1}{7 x}$ .

$\frac{7}{7 x} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.1.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{7}{7 x} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.1.3.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.1.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{x} \cdot 1$

Bước 2.1.3.4

Nhân $\frac{1}{x}$ với $1$ .

$\frac{1}{x}$

Bước 2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$9 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Bước 3

Tích phân của $\frac{1}{u_{2}}$ đối với $u_{2}$ là $\ln (| u_{2} |)$ .

$9 (\ln (| u_{2} |) + C)$

Bước 4

Rút gọn.

$9 \ln (| u_{2} |) + C$

Bước 5

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $\ln (7 x)$ .

$9 \ln (| \ln (7 x) |) + C$