Giải tích Ví dụ

$\int \frac{8 x}{3 + 4 x^{2}} d x$

Bước 1

Vì $8$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $8$ ra khỏi tích phân.

$8 \int \frac{x}{3 + 4 x^{2}} d x$

Bước 2

Giả sử $u = 3 + 4 x^{2}$ . Sau đó $d u = 8 x d x$ , nên $\frac{1}{8} d u = x d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u = 3 + 4 x^{2}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $3 + 4 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [3 + 4 x^{2}]$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 + 4 x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$

Bước 2.1.2.2

Vì $3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $3$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$

Bước 2.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x^{2}$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 2.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$0 + 4 (2 x)$

Bước 2.1.3.3

Nhân $2$ với $4$ .

$0 + 8 x$

Bước 2.1.4

Cộng $0$ và $8 x$ .

$8 x$

Bước 2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$8 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{8} d u$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân $\frac{1}{u}$ với $\frac{1}{8}$ .

$8 \int \frac{1}{u \cdot 8} d u$

Bước 3.2

Di chuyển $8$ sang phía bên trái của $u$ .

$8 \int \frac{1}{8 u} d u$

Bước 4

Vì $\frac{1}{8}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{8}$ ra khỏi tích phân.

$8 (\frac{1}{8} \int \frac{1}{u} d u)$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Kết hợp $\frac{1}{8}$ và $8$ .

$\frac{8}{8} \int \frac{1}{u} d u$

Bước 5.2

Triệt tiêu thừa số chung $8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{8}{8} \int \frac{1}{u} d u$

Bước 5.2.2

Viết lại biểu thức.

$1 \int \frac{1}{u} d u$

Bước 5.3

Nhân $\int \frac{1}{u} d u$ với $1$ .

$\int \frac{1}{u} d u$

Bước 6

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C$

Bước 7

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $3 + 4 x^{2}$ .

$\ln (| 3 + 4 x^{2} |) + C$