Giải tích Ví dụ

$\int \cos^{2} (\frac{π}{2} x) d x$

Bước 1

Giả sử $u_{1} = \frac{π}{2} x$ . Sau đó $d u_{1} = \frac{π}{2} d x$ , nên $\frac{2}{π} d u_{1} = d x$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u_{1} = \frac{π}{2} x$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $\frac{π}{2} x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{π}{2} x]$

Bước 1.1.2

Vì $\frac{π}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{π}{2} x$ đối với $x$ là $\frac{π}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{π}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{π}{2} \cdot 1$

Bước 1.1.4

Nhân $\frac{π}{2}$ với $1$ .

$\frac{π}{2}$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$\int \cos^{2} (u_{1}) \frac{1}{\frac{π}{2}} d u_{1}$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{π}{2}$ .

$\int \cos^{2} (u_{1}) (1 \frac{2}{π}) d u_{1}$

Bước 2.2

Nhân $\frac{2}{π}$ với $1$ .

$\int \cos^{2} (u_{1}) \frac{2}{π} d u_{1}$

Bước 2.3

Kết hợp $\cos^{2} (u_{1})$ và $\frac{2}{π}$ .

$\int \frac{\cos^{2} (u_{1}) \cdot 2}{π} d u_{1}$

Bước 2.4

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\cos^{2} (u_{1})$ .

$\int \frac{2 \cos^{2} (u_{1})}{π} d u_{1}$

Bước 3

Vì $\frac{2}{π}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{2}{π}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{2}{π} \int \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Bước 4

Sử dụng công thức góc chia đôi để viết lại $\cos^{2} (u_{1})$ ở dạng $\frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$\frac{2}{π} \int \frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

Bước 5

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{2}{π} (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{2}{π}$ .

$\frac{2}{2 π} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Bước 6.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2}{2 π} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Bước 6.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{π} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Bước 7

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\frac{1}{π} (\int d u_{1} + \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Bước 8

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{π} (u_{1} + C + \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Bước 9

Giả sử $u_{2} = 2 u_{1}$ . Sau đó $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , nên $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Hãy đặt $u_{2} = 2 u_{1}$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Tính đạo hàm $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Bước 9.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $u_{1}$ , nên đạo hàm của $2 u_{1}$ đối với $u_{1}$ là $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Bước 9.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 9.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 9.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$\frac{1}{π} (u_{1} + C + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Bước 10

Kết hợp $\cos (u_{2})$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{π} (u_{1} + C + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Bước 11

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{π} (u_{1} + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2})$

Bước 12

Tích phân của $\cos (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{π} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

Bước 13

Rút gọn.

$\frac{1}{π} (u_{1} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Bước 14

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\frac{π}{2} x$ .

$\frac{1}{π} (\frac{π}{2} x + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Bước 14.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $2 u_{1}$ .

$\frac{1}{π} (\frac{π}{2} x + \frac{1}{2} \sin (2 u_{1})) + C$

Bước 14.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\frac{π}{2} x$ .

$\frac{1}{π} (\frac{π}{2} x + \frac{1}{2} \sin (2 (\frac{π}{2} x))) + C$

Bước 15

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1.1

Kết hợp $\frac{π}{2}$ và $x$ .

$\frac{1}{π} (\frac{π x}{2} + \frac{1}{2} \sin (2 (\frac{π}{2} x))) + C$

Bước 15.1.2

Kết hợp $\frac{π}{2}$ và $x$ .

$\frac{1}{π} (\frac{π x}{2} + \frac{1}{2} \sin (2 \frac{π x}{2})) + C$

Bước 15.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{π} (\frac{π x}{2} + \frac{1}{2} \sin (2 \frac{π x}{2})) + C$

Bước 15.1.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{π} (\frac{π x}{2} + \frac{1}{2} \sin (π x)) + C$

Bước 15.1.4

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\sin (π x)$ .

$\frac{1}{π} (\frac{π x}{2} + \frac{\sin (π x)}{2}) + C$

Bước 15.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{π} \cdot \frac{π x}{2} + \frac{1}{π} \cdot \frac{\sin (π x)}{2} + C$

Bước 15.3

Triệt tiêu thừa số chung $π$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.3.1

Đưa $π$ ra ngoài $π x$ .

$\frac{1}{π} \cdot \frac{π (x)}{2} + \frac{1}{π} \cdot \frac{\sin (π x)}{2} + C$

Bước 15.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{π} \cdot \frac{π x}{2} + \frac{1}{π} \cdot \frac{\sin (π x)}{2} + C$

Bước 15.3.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{x}{2} + \frac{1}{π} \cdot \frac{\sin (π x)}{2} + C$

Bước 15.4

Nhân $\frac{1}{π}$ với $\frac{\sin (π x)}{2}$ .

$\frac{x}{2} + \frac{\sin (π x)}{π \cdot 2} + C$

Bước 15.5

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $π$ .

$\frac{x}{2} + \frac{\sin (π x)}{2 π} + C$

Bước 16

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{2 π} \sin (π x) + C$