Giải tích Ví dụ

$\int \cos^{4} (x) \sin^{3} (x) d x$

Bước 1

Đưa $\sin^{2} (x)$ ra ngoài.

$\int \cos^{4} (x) (\sin^{2} (x) \sin (x)) d x$

Bước 2

Sử dụng đẳng thức Pytago, viết lại $\sin^{2} (x)$ ở dạng $1 - \cos^{2} (x)$ .

$\int \cos^{4} (x) ((1 - \cos^{2} (x)) \sin (x)) d x$

Bước 3

Giả sử $u = \cos (x)$ . Sau đó $d u = - \sin (x) d x$ , nên $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Hãy đặt $u = \cos (x)$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Tính đạo hàm $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Bước 3.1.2

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Bước 3.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int - u^{4} (1 - u^{2}) d u$

Bước 4

Nhân $- u^{4} (1 - u^{2})$ .

$\int - u^{4} \cdot 1 - u^{4} (- u^{2}) d u$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\int - u^{4} - u^{4} (- u^{2}) d u$

Bước 5.2

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\int - u^{4} + 1 u^{4} u^{2} d u$

Bước 5.3

Nhân $u^{4}$ với $1$ .

$\int - u^{4} + u^{4} u^{2} d u$

Bước 5.4

Nhân $u^{4}$ với $u^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int - u^{4} + u^{4 + 2} d u$

Bước 5.4.2

Cộng $4$ và $2$ .

$\int - u^{4} + u^{6} d u$

Bước 6

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int - u^{4} d u + \int u^{6} d u$

Bước 7

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \int u^{4} d u + \int u^{6} d u$

Bước 8

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{4}$ đối với $u$ là $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$- (\frac{1}{5} u^{5} + C) + \int u^{6} d u$

Bước 9

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{6}$ đối với $u$ là $\frac{1}{7} u^{7}$ .

$- (\frac{1}{5} u^{5} + C) + \frac{1}{7} u^{7} + C$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Kết hợp $\frac{1}{5}$ và $u^{5}$ .

$- (\frac{u^{5}}{5} + C) + \frac{1}{7} u^{7} + C$

Bước 10.2

Rút gọn.

$- \frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{7} u^{7} + C$

Bước 11

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\cos (x)$ .

$- \frac{1}{5} \cos^{5} (x) + \frac{1}{7} \cos^{7} (x) + C$