Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{\frac{π}{8}} 3^{\cos (4 t)} \sin (4 t) d t$

Bước 1

Giả sử $u_{2} = \cos (4 t)$ . Sau đó $d u_{2} = - 4 \sin (4 t) d t$ , nên $- \frac{1}{4} d u_{2} = \sin (4 t) d t$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u_{2} = \cos (4 t)$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $\cos (4 t)$ .

$\frac{d}{d t} [\cos (4 t)]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = \cos (t)$ và $g (t) = 4 t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $4 t$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d t} [4 t]$

Bước 1.1.2.2

Đạo hàm của $\cos (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d t} [4 t]$

Bước 1.1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $4 t$ .

$- \sin (4 t) \frac{d}{d t} [4 t]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $4$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $4 t$ đối với $t$ là $4 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \sin (4 t) (4 \frac{d}{d t} [t])$

Bước 1.1.3.2

Nhân $4$ với $- 1$ .

$- 4 \sin (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

Bước 1.1.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 4 \sin (4 t) \cdot 1$

Bước 1.1.3.4

Nhân $- 4$ với $1$ .

$- 4 \sin (4 t)$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $t$ trong $u_{2} = \cos (4 t)$ .

$u_{lower} = \cos (4 \cdot 0)$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Nhân $4$ với $0$ .

$u_{lower} = \cos (0)$

Bước 1.3.2

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$u_{lower} = 1$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $t$ trong $u_{2} = \cos (4 t)$ .

$u_{upper} = \cos (4 \frac{π}{8})$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1.1

Đưa $4$ ra ngoài $8$ .

$u_{upper} = \cos (4 \frac{π}{4 (2)})$

Bước 1.5.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$u_{upper} = \cos (4 \frac{π}{4 \cdot 2})$

Bước 1.5.1.3

Viết lại biểu thức.

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{2})$

Bước 1.5.2

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{2})$ là $0$ .

$u_{upper} = 0$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ , $d u_{2}$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{1}^{0} 3^{u_{2}} \frac{1}{- 4} d u_{2}$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int_{1}^{0} 3^{u_{2}} (- \frac{1}{4}) d u_{2}$

Bước 2.2

Kết hợp $3^{u_{2}}$ và $\frac{1}{4}$ .

$\int_{1}^{0} - \frac{3^{u_{2}}}{4} d u_{2}$

Bước 3

Vì $- 1$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \int_{1}^{0} \frac{3^{u_{2}}}{4} d u_{2}$

Bước 4

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{4}$ ra khỏi tích phân.

$- (\frac{1}{4} \int_{1}^{0} 3^{u_{2}} d u_{2})$

Bước 5

Tích phân của $3^{u_{2}}$ đối với $u_{2}$ là $\frac{3^{u_{2}}}{\ln (3)}$ .

$- \frac{1}{4} \frac{3^{u_{2}}}{\ln (3)}]_{1}^{0}$

Bước 6

Kết hợp $\frac{3^{u_{2}}}{\ln (3)}]_{1}^{0}$ và $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{\frac{3^{u_{2}}}{\ln (3)}]_{1}^{0}}{4}$

Bước 7

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Tính $\frac{3^{u_{2}}}{\ln (3)}$ tại $0$ và tại $1$ .

$- \frac{(\frac{3^{0}}{\ln (3)}) - \frac{3^{1}}{\ln (3)}}{4}$

Bước 7.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$- \frac{\frac{1}{\ln (3)} - \frac{3^{1}}{\ln (3)}}{4}$

Bước 7.2.2

Tính số mũ.

$- \frac{\frac{1}{\ln (3)} - \frac{3}{\ln (3)}}{4}$

Bước 7.2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- \frac{\frac{1 - 3}{\ln (3)}}{4}$

Bước 7.2.4

Trừ $3$ khỏi $1$ .

$- \frac{\frac{- 2}{\ln (3)}}{4}$

Bước 7.2.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{- \frac{2}{\ln (3)}}{4}$

Bước 7.2.6

Viết lại $\frac{- \frac{2}{\ln (3)}}{4}$ ở dạng một tích.

$- (- \frac{2}{\ln (3)} \cdot \frac{1}{4})$

Bước 7.2.7

Nhân $\frac{1}{4}$ với $\frac{2}{\ln (3)}$ .

$- - \frac{2}{4 \ln (3)}$

Bước 7.2.8

Triệt tiêu thừa số chung của $2$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.8.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$- - \frac{2 (1)}{4 \ln (3)}$

Bước 7.2.8.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.8.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4 \ln (3)$ .

$- - \frac{2 (1)}{2 (2 \ln (3))}$

Bước 7.2.8.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- - \frac{2 \cdot 1}{2 (2 \ln (3))}$

Bước 7.2.8.2.3

Viết lại biểu thức.

$- - \frac{1}{2 \ln (3)}$

Bước 7.2.9

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 \frac{1}{2 \ln (3)}$

Bước 7.2.10

Nhân $\frac{1}{2 \ln (3)}$ với $1$ .

$\frac{1}{2 \ln (3)}$

Bước 8

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{1}{2 \ln (3)}$

Dạng thập phân:

$0.45511961 \dots$