Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} 5 \sec^{4} (x) d x$

Bước 1

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $5$ ra khỏi tích phân.

$5 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{4} (x) d x$

Bước 2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại $4$ ở dạng $2$ cộng $2$

$5 \int_{0}^{\frac{π}{4}} {\sec (x)}^{2 + 2} d x$

Bước 2.2

Viết lại ${\sec (x)}^{2 + 2}$ ở dạng $\sec^{2} (x) \sec^{2} (x)$ .

$5 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (x) \sec^{2} (x) d x$

Bước 3

Sử dụng đẳng thức Pytago, viết lại $\sec^{2} (x)$ ở dạng $1 + \tan^{2} (x)$ .

$5 \int_{0}^{\frac{π}{4}} (1 + \tan^{2} (x)) \sec^{2} (x) d x$

Bước 4

Giả sử $u = \tan (x)$ . Sau đó $d u = \sec^{2} (x) d x$ , nên $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Hãy đặt $u = \tan (x)$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Tính đạo hàm $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Bước 4.1.2

Đạo hàm của $\tan (x)$ đối với $x$ là $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$

Bước 4.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = \tan (x)$ .

$u_{lower} = \tan (0)$

Bước 4.3

Giá trị chính xác của $\tan (0)$ là $0$ .

$u_{lower} = 0$

Bước 4.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = \tan (x)$ .

$u_{upper} = \tan (\frac{π}{4})$

Bước 4.5

Giá trị chính xác của $\tan (\frac{π}{4})$ là $1$ .

$u_{upper} = 1$

Bước 4.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Bước 4.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$5 \int_{0}^{1} 1 + u^{2} d u$

Bước 5

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$5 (\int_{0}^{1} d u + \int_{0}^{1} u^{2} d u)$

Bước 6

Áp dụng quy tắc hằng số.

$5 (u]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} u^{2} d u)$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{2}$ đối với $u$ là $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$5 (u]_{0}^{1} + \frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{1})$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Kết hợp $u]_{0}^{1}$ và $\frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{1}$ .

$5 (u + \frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{1})$

Bước 8.2

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $u^{3}$ .

$5 (u + \frac{u^{3}}{3}]_{0}^{1})$

Bước 9

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Tính $u + \frac{u^{3}}{3}$ tại $1$ và tại $0$ .

$5 ((1 + \frac{1^{3}}{3}) - (0 + \frac{0^{3}}{3}))$

Bước 9.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$5 (1 + \frac{1}{3} - (0 + \frac{0^{3}}{3}))$

Bước 9.2.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$5 (\frac{3}{3} + \frac{1}{3} - (0 + \frac{0^{3}}{3}))$

Bước 9.2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$5 (\frac{3 + 1}{3} - (0 + \frac{0^{3}}{3}))$

Bước 9.2.4

Cộng $3$ và $1$ .

$5 (\frac{4}{3} - (0 + \frac{0^{3}}{3}))$

Bước 9.2.5

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$5 (\frac{4}{3} - (0 + \frac{0}{3}))$

Bước 9.2.6

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.6.1

Đưa $3$ ra ngoài $0$ .

$5 (\frac{4}{3} - (0 + \frac{3 (0)}{3}))$

Bước 9.2.6.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.6.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$5 (\frac{4}{3} - (0 + \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Bước 9.2.6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$5 (\frac{4}{3} - (0 + \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Bước 9.2.6.2.3

Viết lại biểu thức.

$5 (\frac{4}{3} - (0 + \frac{0}{1}))$

Bước 9.2.6.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$5 (\frac{4}{3} - (0 + 0))$

Bước 9.2.7

Cộng $0$ và $0$ .

$5 (\frac{4}{3} - 0)$

Bước 9.2.8

Nhân $- 1$ với $0$ .

$5 (\frac{4}{3} + 0)$

Bước 9.2.9

Cộng $\frac{4}{3}$ và $0$ .

$5 (\frac{4}{3})$

Bước 9.2.10

Kết hợp $5$ và $\frac{4}{3}$ .

$\frac{5 \cdot 4}{3}$

Bước 9.2.11

Nhân $5$ với $4$ .

$\frac{20}{3}$

Bước 10

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{20}{3}$

Dạng thập phân:

$6.\overline{6}$

Dạng hỗn số:

$6 \frac{2}{3}$