Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{0.5} 3 \tan (2 x) d x$

Bước 1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$3 \int_{0}^{0.5} \tan (2 x) d x$

Bước 2

Giả sử $u = 2 x$ . Sau đó $d u = 2 d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u = 2 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 2.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 2.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 2.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Bước 2.3

Nhân $2$ với $0$ .

$u_{lower} = 0$

Bước 2.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 0.5$

Bước 2.5

Nhân $2$ với $0.5$ .

$u_{upper} = 1$

Bước 2.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Bước 2.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$3 \int_{0}^{1} \tan (u) \frac{1}{2} d u$

Bước 3

Kết hợp $\tan (u)$ và $\frac{1}{2}$ .

$3 \int_{0}^{1} \frac{\tan (u)}{2} d u$

Bước 4

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$3 (\frac{1}{2} \int_{0}^{1} \tan (u) d u)$

Bước 5

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $3$ .

$\frac{3}{2} \int_{0}^{1} \tan (u) d u$

Bước 6

Tích phân của $\tan (u)$ đối với $u$ là $\ln (| \sec (u) |)$ .

$\frac{3}{2} \ln (| \sec (u) |)]_{0}^{1}$

Bước 7

Tính $\ln (| \sec (u) |)$ tại $1$ và tại $0$ .

$\frac{3}{2} (\ln (| \sec (1) |) - \ln (| \sec (0) |))$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Giá trị chính xác của $\sec (0)$ là $1$ .

$\frac{3}{2} (\ln (| \sec (1) |) - \ln (| 1 |))$

Bước 8.2

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{3}{2} \ln (\frac{| \sec (1) |}{| 1 |})$

Bước 8.3

Kết hợp $\frac{3}{2}$ và $\ln (\frac{| \sec (1) |}{| 1 |})$ .

$\frac{3 \ln (\frac{| \sec (1) |}{| 1 |})}{2}$

Bước 9

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{3 \ln (\frac{| \sec (1) |}{| 1 |})}{2}$

Dạng thập phân:

$0.00022847 \dots$