Giải tích Ví dụ

$f (x) = x^{2} \ln (7 x)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \ln (7 x)$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (7 x)] + \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = 7 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $7 x$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [7 x]) + \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 2.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$x^{2} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [7 x]) + \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $7 x$ .

$x^{2} (\frac{1}{7 x} \frac{d}{d x} [7 x]) + \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Kết hợp $\frac{1}{7 x}$ và $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{7 x} \frac{d}{d x} [7 x] + \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 3.2

Triệt tiêu thừa số chung của $x^{2}$ và $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x}{7 x} \frac{d}{d x} [7 x] + \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 3.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $7 x$ .

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 7} \frac{d}{d x} [7 x] + \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 3.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 7} \frac{d}{d x} [7 x] + \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 3.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{x}{7} \frac{d}{d x} [7 x] + \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 3.3

Vì $7$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $7 x$ đối với $x$ là $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x}{7} (7 \frac{d}{d x} [x]) + \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 3.4

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Kết hợp $7$ và $\frac{x}{7}$ .

$\frac{7 x}{7} \frac{d}{d x} [x] + \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 3.4.2

Triệt tiêu thừa số chung $7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{7 x}{7} \frac{d}{d x} [x] + \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 3.4.2.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x \frac{d}{d x} [x] + \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$x \cdot 1 + \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 3.6

Nhân $x$ với $1$ .

$x + \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 3.7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$x + \ln (7 x) (2 x)$

Bước 3.8

Sắp xếp lại các số hạng.

$2 x \ln (7 x) + x$