Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} x \sin (x) d x$

Bước 1

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x$ và $d v = \sin (x)$ .

$x (- \cos (x))]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} - \cos (x) d x$

Bước 2

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$x (- \cos (x))]_{0}^{\frac{π}{2}} - - \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (x) d x$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$x (- \cos (x))]_{0}^{\frac{π}{2}} + 1 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (x) d x$

Bước 3.2

Nhân $\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (x) d x$ với $1$ .

$x (- \cos (x))]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (x) d x$

Bước 4

Tích phân của $\cos (x)$ đối với $x$ là $\sin (x)$ .

$x (- \cos (x))]_{0}^{\frac{π}{2}} + \sin (x)]_{0}^{\frac{π}{2}}$

Bước 5

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Kết hợp $x (- \cos (x))]_{0}^{\frac{π}{2}}$ và $\sin (x)]_{0}^{\frac{π}{2}}$ .

$x (- \cos (x)) + \sin (x)]_{0}^{\frac{π}{2}}$

Bước 5.2

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Tính $x (- \cos (x)) + \sin (x)$ tại $\frac{π}{2}$ và tại $0$ .

$(\frac{π}{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + \sin (\frac{π}{2})) - (0 (- \cos (0)) + \sin (0))$

Bước 5.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Kết hợp $\frac{π}{2}$ và $\cos (\frac{π}{2})$ .

$- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{2} + \sin (\frac{π}{2}) - (0 (- \cos (0)) + \sin (0))$

Bước 5.2.2.2

Nhân $- 1$ với $0$ .

$- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{2} + \sin (\frac{π}{2}) - (0 \cos (0) + \sin (0))$

Bước 5.2.2.3

Nhân $0$ với $\cos (0)$ .

$- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{2} + \sin (\frac{π}{2}) - (0 + \sin (0))$

Bước 5.2.2.4

Cộng $0$ và $\sin (0)$ .

$- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{2} + \sin (\frac{π}{2}) - \sin (0)$

Bước 5.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{2})$ là $0$ .

$- \frac{π \cdot 0}{2} + \sin (\frac{π}{2}) - \sin (0)$

Bước 5.3.2

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{2})$ là $1$ .

$- \frac{π \cdot 0}{2} + 1 - \sin (0)$

Bước 5.3.3

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$- \frac{π \cdot 0}{2} + 1 - 0$

Bước 5.3.4

Nhân $π$ với $0$ .

$- \frac{0}{2} + 1 - 0$

Bước 5.3.5

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.5.1

Đưa $2$ ra ngoài $0$ .

$- \frac{2 (0)}{2} + 1 - 0$

Bước 5.3.5.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.5.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$- \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + 1 - 0$

Bước 5.3.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + 1 - 0$

Bước 5.3.5.2.3

Viết lại biểu thức.

$- \frac{0}{1} + 1 - 0$

Bước 5.3.5.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$- 0 + 1 - 0$

Bước 5.3.6

Nhân $- 1$ với $0$ .

$0 + 1 - 0$

Bước 5.3.7

Cộng $0$ và $1$ .

$1 - 0$

Bước 5.3.8

Nhân $- 1$ với $0$ .

$1 + 0$

Bước 5.3.9

Cộng $1$ và $0$ .

$1$