Giải tích Ví dụ

$\int \frac{\tan (x)}{\cos^{3} (x)} d x$

Bước 1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Đưa $\cos (x)$ ra ngoài $\cos^{3} (x)$ .

$\int \frac{\tan (x)}{\cos (x) \cos^{2} (x)} d x$

Bước 1.2

Tách các phân số.

$\int \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\tan (x)}{\cos (x)} d x$

Bước 1.3

Viết lại $\tan (x)$ theo sin và cosin.

$\int \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)} d x$

Bước 1.4

Viết lại $\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)}$ ở dạng một tích.

$\int \frac{1}{\cos^{2} (x)} (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}) d x$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Quy đổi từ $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ sang $\tan (x)$ .

$\int \frac{1}{\cos^{2} (x)} (\tan (x) \frac{1}{\cos (x)}) d x$

Bước 1.5.2

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos (x)}$ sang $\sec (x)$ .

$\int \frac{1}{\cos^{2} (x)} (\tan (x) \sec (x)) d x$

Bước 1.6

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\int \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} (\tan (x) \sec (x)) d x$

Bước 1.7

Viết lại $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$ ở dạng ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ .

$\int {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} (\tan (x) \sec (x)) d x$

Bước 1.8

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos (x)}$ sang $\sec (x)$ .

$\int \sec^{2} (x) (\tan (x) \sec (x)) d x$

Bước 1.9

Nhân $\sec^{2} (x)$ với $\sec (x)$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.9.1

Di chuyển $\sec (x)$ .

$\int \sec (x) \sec^{2} (x) \tan (x) d x$

Bước 1.9.2

Nhân $\sec (x)$ với $\sec^{2} (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.9.2.1

Nâng $\sec (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\int \sec^{1} (x) \sec^{2} (x) \tan (x) d x$

Bước 1.9.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int {\sec (x)}^{1 + 2} \tan (x) d x$

Bước 1.9.3

Cộng $1$ và $2$ .

$\int \sec^{3} (x) \tan (x) d x$

Bước 2

Giả sử $u = \sec (x)$ . Sau đó $d u = \sec (x) \tan (x) d x$ , nên $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u = \sec (x)$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Bước 2.1.2

Đạo hàm của $\sec (x)$ đối với $x$ là $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Bước 2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int u^{2} d u$

Bước 3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{2}$ đối với $u$ là $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C$

Bước 4

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\sec (x)$ .

$\frac{1}{3} \sec^{3} (x) + C$