Giải tích Ví dụ

$\int t^{2} \sin (B t) d t$

Bước 1

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = t^{2}$ và $d v = \sin (B t)$ .

$t^{2} (- \frac{\cos (B t)}{B}) - \int - \frac{\cos (B t)}{B} (2 t) d t$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Kết hợp $t^{2}$ và $\frac{\cos (B t)}{B}$ .

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} - \int - \frac{\cos (B t)}{B} (2 t) d t$

Bước 2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} - \int - 2 \frac{\cos (B t)}{B} t d t$

Bước 2.3

Kết hợp $- 2$ và $\frac{\cos (B t)}{B}$ .

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} - \int \frac{- 2 \cos (B t)}{B} t d t$

Bước 2.4

Kết hợp $\frac{- 2 \cos (B t)}{B}$ và $t$ .

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} - \int \frac{- 2 \cos (B t) t}{B} d t$

Bước 2.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} - \int - \frac{2 \cos (B t) t}{B} d t$

Bước 3

Vì $- 1$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} - - \int \frac{2 \cos (B t) t}{B} d t$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + 1 \int \frac{2 \cos (B t) t}{B} d t$

Bước 4.2

Nhân $\int \frac{2 \cos (B t) t}{B} d t$ với $1$ .

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \int \frac{2 \cos (B t) t}{B} d t$

Bước 5

Vì $\frac{2}{B}$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $\frac{2}{B}$ ra khỏi tích phân.

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} \int \cos (B t) t d t$

Bước 6

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = t$ và $d v = \cos (B t)$ .

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (t \frac{\sin (B t)}{B} - \int \frac{\sin (B t)}{B} d t)$

Bước 7

Kết hợp $t$ và $\frac{\sin (B t)}{B}$ .

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} - \int \frac{\sin (B t)}{B} d t)$

Bước 8

Vì $\frac{1}{B}$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $\frac{1}{B}$ ra khỏi tích phân.

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} - (\frac{1}{B} \int \sin (B t) d t))$

Bước 9

Giả sử $u = B t$ . Sau đó $d u = B d t$ , nên $\frac{1}{B} d u = d t$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Hãy đặt $u = B t$ . Tìm $\frac{d u}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Tính đạo hàm $B t$ .

$\frac{d}{d t} [B t]$

Bước 9.1.2

Vì $B$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $B t$ đối với $t$ là $B \frac{d}{d t} [t]$ .

$B \frac{d}{d t} [t]$

Bước 9.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$B \cdot 1$

Bước 9.1.4

Nhân $B$ với $1$ .

$B$

Bước 9.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} - \frac{1}{B} \int \sin (u) \frac{1}{B} d u)$

Bước 10

Kết hợp $\sin (u)$ và $\frac{1}{B}$ .

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} - \frac{1}{B} \int \frac{\sin (u)}{B} d u)$

Bước 11

Vì $\frac{1}{B}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{B}$ ra khỏi tích phân.

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} - \frac{1}{B} (\frac{1}{B} \int \sin (u) d u))$

Bước 12

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Nhân $\frac{1}{B}$ với $\frac{1}{B}$ .

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} - \frac{1}{B \cdot B} \int \sin (u) d u)$

Bước 12.2

Nâng $B$ lên lũy thừa $1$ .

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} - \frac{1}{B^{1} B} \int \sin (u) d u)$

Bước 12.3

Nâng $B$ lên lũy thừa $1$ .

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} - \frac{1}{B^{1} B^{1}} \int \sin (u) d u)$

Bước 12.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} - \frac{1}{B^{1 + 1}} \int \sin (u) d u)$

Bước 12.5

Cộng $1$ và $1$ .

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} - \frac{1}{B^{2}} \int \sin (u) d u)$

Bước 13

Tích phân của $\sin (u)$ đối với $u$ là $- \cos (u)$ .

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} - \frac{1}{B^{2}} (- \cos (u) + C))$

Bước 14

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Viết lại $- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} - \frac{1}{B^{2}} (- \cos (u) + C))$ ở dạng $- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} + \frac{\cos (u)}{B^{2}}) + C$ .

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} + \frac{\cos (u)}{B^{2}}) + C$

Bước 14.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.1

Để viết $\frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} + \frac{\cos (u)}{B^{2}})$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{B}{B}$ .

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} + \frac{\cos (u)}{B^{2}}) \cdot \frac{B}{B} + C$

Bước 14.2.2

Kết hợp $\frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} + \frac{\cos (u)}{B^{2}})$ và $\frac{B}{B}$ .

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{\frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} + \frac{\cos (u)}{B^{2}}) B}{B} + C$

Bước 14.2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{- t^{2} \cos (B t) + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} + \frac{\cos (u)}{B^{2}}) B}{B} + C$

Bước 14.2.4

Kết hợp $B$ và $\frac{2}{B}$ .

$\frac{- t^{2} \cos (B t) + \frac{B \cdot 2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} + \frac{\cos (u)}{B^{2}})}{B} + C$

Bước 14.2.5

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $B$ .

$\frac{- t^{2} \cos (B t) + \frac{2 \cdot B}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} + \frac{\cos (u)}{B^{2}})}{B} + C$

Bước 14.2.6

Triệt tiêu thừa số chung $B$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.6.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- t^{2} \cos (B t) + \frac{2 B}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} + \frac{\cos (u)}{B^{2}})}{B} + C$

Bước 14.2.6.2

Chia $2$ cho $1$ .

$\frac{- t^{2} \cos (B t) + 2 (\frac{t \sin (B t)}{B} + \frac{\cos (u)}{B^{2}})}{B} + C$

Bước 15

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $B t$ .

$\frac{- t^{2} \cos (B t) + 2 (\frac{t \sin (B t)}{B} + \frac{\cos (B t)}{B^{2}})}{B} + C$

Bước 16

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{- t^{2} \cos (B t) + 2 \frac{t \sin (B t)}{B} + 2 \frac{\cos (B t)}{B^{2}}}{B} + C$

Bước 16.1.2

Kết hợp $2$ và $\frac{t \sin (B t)}{B}$ .

$\frac{- t^{2} \cos (B t) + \frac{2 (t \sin (B t))}{B} + 2 \frac{\cos (B t)}{B^{2}}}{B} + C$

Bước 16.1.3

Kết hợp $2$ và $\frac{\cos (B t)}{B^{2}}$ .

$\frac{- t^{2} \cos (B t) + \frac{2 t \sin (B t)}{B} + \frac{2 \cos (B t)}{B^{2}}}{B} + C$

Bước 16.2

Đưa $- 1$ ra ngoài $- t^{2} \cos (B t)$ .

$\frac{- (t^{2} \cos (B t)) + \frac{2 t \sin (B t)}{B} + \frac{2 \cos (B t)}{B^{2}}}{B} + C$

Bước 16.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $\frac{2 t \sin (B t)}{B}$ .

$\frac{- (t^{2} \cos (B t)) - \frac{- 2 t \sin (B t)}{B} + \frac{2 \cos (B t)}{B^{2}}}{B} + C$

Bước 16.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (t^{2} \cos (B t)) - \frac{- 2 t \sin (B t)}{B}$ .

$\frac{- (t^{2} \cos (B t) + \frac{- 2 t \sin (B t)}{B}) + \frac{2 \cos (B t)}{B^{2}}}{B} + C$

Bước 16.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $\frac{2 \cos (B t)}{B^{2}}$ .

$\frac{- (t^{2} \cos (B t) + \frac{- 2 t \sin (B t)}{B}) - \frac{- 2 \cos (B t)}{B^{2}}}{B} + C$

Bước 16.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (t^{2} \cos (B t) + \frac{- 2 t \sin (B t)}{B}) - \frac{- 2 \cos (B t)}{B^{2}}$ .

$\frac{- (t^{2} \cos (B t) + \frac{- 2 t \sin (B t)}{B} + \frac{- 2 \cos (B t)}{B^{2}})}{B} + C$

Bước 16.7

Viết lại $- (t^{2} \cos (B t) + \frac{- 2 t \sin (B t)}{B} + \frac{- 2 \cos (B t)}{B^{2}})$ ở dạng $- 1 (t^{2} \cos (B t) + \frac{- 2 t \sin (B t)}{B} + \frac{- 2 \cos (B t)}{B^{2}})$ .

$\frac{- 1 (t^{2} \cos (B t) + \frac{- 2 t \sin (B t)}{B} + \frac{- 2 \cos (B t)}{B^{2}})}{B} + C$

Bước 16.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{t^{2} \cos (B t) + \frac{- 2 t \sin (B t)}{B} + \frac{- 2 \cos (B t)}{B^{2}}}{B} + C$

Bước 16.9

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{t^{2} \cos (B t) - \frac{2 t \sin (B t)}{B} + \frac{- 2 \cos (B t)}{B^{2}}}{B} + C$

Bước 16.10

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{t^{2} \cos (B t) - \frac{2 t \sin (B t)}{B} - \frac{2 \cos (B t)}{B^{2}}}{B} + C$