Giải tích Ví dụ

$\int \frac{t \sqrt{t} + \sqrt{t}}{t^{2}} d t$

Bước 1

Đưa $\sqrt{t}$ ra ngoài $t \sqrt{t} + \sqrt{t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Đưa $\sqrt{t}$ ra ngoài $t \sqrt{t}$ .

$\int \frac{\sqrt{t} t + \sqrt{t}}{t^{2}} d t$

Bước 1.2

Nhân với $1$ .

$\int \frac{\sqrt{t} t + \sqrt{t} \cdot 1}{t^{2}} d t$

Bước 1.3

Đưa $\sqrt{t}$ ra ngoài $\sqrt{t} t + \sqrt{t} \cdot 1$ .

$\int \frac{\sqrt{t} (t + 1)}{t^{2}} d t$

Bước 2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Di chuyển $t^{2}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\int \sqrt{t} (t + 1) {(t^{2})}^{- 1} d t$

Bước 2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Nhân các số mũ trong ${(t^{2})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \sqrt{t} (t + 1) t^{2 \cdot - 1} d t$

Bước 2.2.1.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\int \sqrt{t} (t + 1) t^{- 2} d t$

Bước 2.2.2

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{t}$ ở dạng $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\int t^{\frac{1}{2}} (t + 1) t^{- 2} d t$

Bước 2.2.3

Nhân $t^{\frac{1}{2}}$ với $t^{- 2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Di chuyển $t^{- 2}$ .

$\int t^{- 2} t^{\frac{1}{2}} (t + 1) d t$

Bước 2.2.3.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int t^{- 2 + \frac{1}{2}} (t + 1) d t$

Bước 2.2.3.3

Để viết $- 2$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\int t^{- 2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}} (t + 1) d t$

Bước 2.2.3.4

Kết hợp $- 2$ và $\frac{2}{2}$ .

$\int t^{\frac{- 2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}} (t + 1) d t$

Bước 2.2.3.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\int t^{\frac{- 2 \cdot 2 + 1}{2}} (t + 1) d t$

Bước 2.2.3.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.6.1

Nhân $- 2$ với $2$ .

$\int t^{\frac{- 4 + 1}{2}} (t + 1) d t$

Bước 2.2.3.6.2

Cộng $- 4$ và $1$ .

$\int t^{\frac{- 3}{2}} (t + 1) d t$

Bước 2.2.3.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int t^{- \frac{3}{2}} (t + 1) d t$

Bước 3

Khai triển $t^{- \frac{3}{2}} (t + 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int t^{- \frac{3}{2}} t + t^{- \frac{3}{2}} \cdot 1 d t$

Bước 3.2

Sắp xếp lại $t^{- \frac{3}{2}}$ và $1$ .

$\int t^{- \frac{3}{2}} t + 1 \cdot t^{- \frac{3}{2}} d t$

Bước 3.3

Nâng $t$ lên lũy thừa $1$ .

$\int t^{- \frac{3}{2}} t^{1} + 1 t^{- \frac{3}{2}} d t$

Bước 3.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int t^{- \frac{3}{2} + 1} + 1 t^{- \frac{3}{2}} d t$

Bước 3.5

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\int t^{- \frac{3}{2} + \frac{2}{2}} + 1 t^{- \frac{3}{2}} d t$

Bước 3.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\int t^{\frac{- 3 + 2}{2}} + 1 t^{- \frac{3}{2}} d t$

Bước 3.7

Cộng $- 3$ và $2$ .

$\int t^{\frac{- 1}{2}} + 1 t^{- \frac{3}{2}} d t$

Bước 3.8

Nhân $t^{- \frac{3}{2}}$ với $1$ .

$\int t^{\frac{- 1}{2}} + t^{- \frac{3}{2}} d t$

Bước 4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t^{- \frac{3}{2}} d t$

Bước 5

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int t^{- \frac{1}{2}} d t + \int t^{- \frac{3}{2}} d t$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $t^{- \frac{1}{2}}$ đối với $t$ là $2 t^{\frac{1}{2}}$ .

$2 t^{\frac{1}{2}} + C + \int t^{- \frac{3}{2}} d t$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $t^{- \frac{3}{2}}$ đối với $t$ là $- 2 t^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 t^{\frac{1}{2}} + C - 2 t^{- \frac{1}{2}} + C$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Rút gọn.

$2 t^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} + C$

Bước 8.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 t^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2}{t^{\frac{1}{2}}} + C$

Bước 8.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$2 t^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} + C$