Giải tích Ví dụ

$\int 2 \sec (4 x) \tan (4 x) d x$

Bước 1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int \sec (4 x) \tan (4 x) d x$

Bước 2

Giả sử $u_{2} = \sec (4 x)$ . Sau đó $d u_{2} = 4 \sec (4 x) \tan (4 x) d x$ , nên $\frac{1}{4} d u_{2} = \sec (4 x) \tan (4 x) d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u_{2} = \sec (4 x)$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $\sec (4 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (4 x)]$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sec (x)$ và $g (x) = 4 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $4 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sec (u_{1})] \frac{d}{d x} [4 x]$

Bước 2.1.2.2

Đạo hàm của $\sec (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$ .

$\sec (u_{1}) \tan (u_{1}) \frac{d}{d x} [4 x]$

Bước 2.1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $4 x$ .

$\sec (4 x) \tan (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]$

Bước 2.1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec (4 x) \tan (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\sec (4 x) \tan (4 x) (4 \cdot 1)$

Bước 2.1.3.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.3.1

Nhân $4$ với $1$ .

$\sec (4 x) \tan (4 x) \cdot 4$

Bước 2.1.3.3.2

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $\sec (4 x) \tan (4 x)$ .

$4 \sec (4 x) \tan (4 x)$

Bước 2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$2 \int \frac{1}{4} d u_{2}$

Bước 3

Áp dụng quy tắc hằng số.

$2 (\frac{1}{4} u_{2} + C)$

Bước 4

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại $2 (\frac{1}{4} u_{2} + C)$ ở dạng $2 (\frac{1}{4}) u_{2} + C$ .

$2 (\frac{1}{4}) u_{2} + C$

Bước 4.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{4}$ .

$\frac{2}{4} u_{2} + C$

Bước 4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $2$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 (1)}{4} u_{2} + C$

Bước 4.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} u_{2} + C$

Bước 4.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} u_{2} + C$

Bước 4.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{2} u_{2} + C$

Bước 4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $\sec (4 x)$ .

$\frac{1}{2} \sec (4 x) + C$