Giải tích Ví dụ

$f (x) = 2 \sin (x) - 1$

Bước 1

Viết $f (x) = 2 \sin (x) - 1$ ở dạng một phương trình.

$y = 2 \sin (x) - 1$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = 2 \sin (y) - 1$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại phương trình ở dạng $2 \sin (y) - 1 = x$ .

$2 \sin (y) - 1 = x$

Bước 3.2

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$2 \sin (y) = x + 1$

Bước 3.3

Chia mỗi số hạng trong $2 \sin (y) = x + 1$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Chia mỗi số hạng trong $2 \sin (y) = x + 1$ cho $2$ .

$\frac{2 \sin (y)}{2} = \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$

Bước 3.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \sin (y)}{2} = \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$

Bước 3.3.2.1.2

Chia $\sin (y)$ cho $1$ .

$\sin (y) = \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$

Bước 3.4

Lấy nghịch đảo sin của cả hai vế của phương trình để trích xuất $y$ từ trong hàm sin.

$y = \arcsin (\frac{x}{2} + \frac{1}{2})$

Bước 4

Thay thế $y$ bằng $f^{- 1} (x)$ để cho thấy đáp án cuối cùng.

$f^{- 1} (x) = \arcsin (\frac{x}{2} + \frac{1}{2})$

Bước 5

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = \arcsin (\frac{x}{2} + \frac{1}{2})$ có là hàm ngược của $f (x) = 2 \sin (x) - 1$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 5.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 5.2.2

Tính $f^{- 1} (2 \sin (x) - 1)$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 \sin (x) - 1) = \arcsin (\frac{2 \sin (x) - 1}{2} + \frac{1}{2})$

Bước 5.2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f^{- 1} (2 \sin (x) - 1) = \arcsin (\frac{2 \sin (x) - 1 + 1}{2})$

Bước 5.2.4

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $2 \sin (x) - 1 + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1

Cộng $- 1$ và $1$ .

$f^{- 1} (2 \sin (x) - 1) = \arcsin (\frac{2 \sin (x) + 0}{2})$

Bước 5.2.4.2

Cộng $2 \sin (x)$ và $0$ .

$f^{- 1} (2 \sin (x) - 1) = \arcsin (\frac{2 \sin (x)}{2})$

Bước 5.2.5

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (2 \sin (x) - 1) = \arcsin (\frac{2 \sin (x)}{2})$

Bước 5.2.5.2

Chia $\sin (x)$ cho $1$ .

$f^{- 1} (2 \sin (x) - 1) = \arcsin (\sin (x))$

Bước 5.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 5.3.2

Tính $f (\arcsin (\frac{x}{2} + \frac{1}{2}))$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (\arcsin (\frac{x}{2} + \frac{1}{2})) = 2 \sin (\arcsin (\frac{x}{2} + \frac{1}{2})) - 1$

Bước 5.3.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Hàm sin và arcsin là nghịch đảo.

$f (\arcsin (\frac{x}{2} + \frac{1}{2})) = 2 (\frac{x}{2} + \frac{1}{2}) - 1$

Bước 5.3.3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (\arcsin (\frac{x}{2} + \frac{1}{2})) = 2 (\frac{x}{2}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1$

Bước 5.3.3.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\arcsin (\frac{x}{2} + \frac{1}{2})) = 2 (\frac{x}{2}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1$

Bước 5.3.3.3.2

Viết lại biểu thức.

$f (\arcsin (\frac{x}{2} + \frac{1}{2})) = x + 2 (\frac{1}{2}) - 1$

Bước 5.3.3.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\arcsin (\frac{x}{2} + \frac{1}{2})) = x + 2 (\frac{1}{2}) - 1$

Bước 5.3.3.4.2

Viết lại biểu thức.

$f (\arcsin (\frac{x}{2} + \frac{1}{2})) = x + 1 - 1$

Bước 5.3.4

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x + 1 - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.1

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$f (\arcsin (\frac{x}{2} + \frac{1}{2})) = x + 0$

Bước 5.3.4.2

Cộng $x$ và $0$ .

$f (\arcsin (\frac{x}{2} + \frac{1}{2})) = x$

Bước 5.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = \arcsin (\frac{x}{2} + \frac{1}{2})$ là hàm ngược của $f (x) = 2 \sin (x) - 1$ .

$f^{- 1} (x) = \arcsin (\frac{x}{2} + \frac{1}{2})$