Giải tích Ví dụ

$\int_{- 2}^{4} 2 + \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} y^{2} d y$

Bước 1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{- 2}^{4} 2 d y + \int_{- 2}^{4} \frac{1}{2} y d y + \int_{- 2}^{4} - \frac{1}{4} y^{2} d y$

Bước 2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$2 y]_{- 2}^{4} + \int_{- 2}^{4} \frac{1}{2} y d y + \int_{- 2}^{4} - \frac{1}{4} y^{2} d y$

Bước 3

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$2 y]_{- 2}^{4} + \frac{1}{2} \int_{- 2}^{4} y d y + \int_{- 2}^{4} - \frac{1}{4} y^{2} d y$

Bước 4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y$ đối với $y$ là $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$2 y]_{- 2}^{4} + \frac{1}{2} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 2}^{4} + \int_{- 2}^{4} - \frac{1}{4} y^{2} d y$

Bước 5

Vì $- \frac{1}{4}$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $- \frac{1}{4}$ ra khỏi tích phân.

$2 y]_{- 2}^{4} + \frac{1}{2} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 2}^{4} - \frac{1}{4} \int_{- 2}^{4} y^{2} d y$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y^{2}$ đối với $y$ là $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$2 y]_{- 2}^{4} + \frac{1}{2} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 2}^{4} - \frac{1}{4} \frac{1}{3} y^{3}]_{- 2}^{4}$

Bước 7

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Tính $2 y$ tại $4$ và tại $- 2$ .

$(2 \cdot 4) - 2 \cdot - 2 + \frac{1}{2} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 2}^{4} - \frac{1}{4} \frac{1}{3} y^{3}]_{- 2}^{4}$

Bước 7.2

Tính $\frac{1}{2} y^{2}$ tại $4$ và tại $- 2$ .

$2 \cdot 4 - 2 \cdot - 2 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 4^{2} - \frac{1}{2} {(- 2)}^{2}) - \frac{1}{4} \frac{1}{3} y^{3}]_{- 2}^{4}$

Bước 7.3

Tính $\frac{1}{3} y^{3}$ tại $4$ và tại $- 2$ .

$2 \cdot 4 - 2 \cdot - 2 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 4^{2} - \frac{1}{2} {(- 2)}^{2}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Bước 7.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.1

Nhân $2$ với $4$ .

$8 - 2 \cdot - 2 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 4^{2} - \frac{1}{2} {(- 2)}^{2}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Bước 7.4.2

Nhân $- 2$ với $- 2$ .

$8 + 4 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 4^{2} - \frac{1}{2} {(- 2)}^{2}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Bước 7.4.3

Cộng $8$ và $4$ .

$12 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 4^{2} - \frac{1}{2} {(- 2)}^{2}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Bước 7.4.4

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$12 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 16 - \frac{1}{2} {(- 2)}^{2}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Bước 7.4.5

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $16$ .

$12 + \frac{1}{2} (\frac{16}{2} - \frac{1}{2} {(- 2)}^{2}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Bước 7.4.6

Triệt tiêu thừa số chung của $16$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.6.1

Đưa $2$ ra ngoài $16$ .

$12 + \frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{1}{2} {(- 2)}^{2}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Bước 7.4.6.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.6.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$12 + \frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{1}{2} {(- 2)}^{2}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Bước 7.4.6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$12 + \frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{1}{2} {(- 2)}^{2}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Bước 7.4.6.2.3

Viết lại biểu thức.

$12 + \frac{1}{2} (\frac{8}{1} - \frac{1}{2} {(- 2)}^{2}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Bước 7.4.6.2.4

Chia $8$ cho $1$ .

$12 + \frac{1}{2} (8 - \frac{1}{2} {(- 2)}^{2}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Bước 7.4.7

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $2$ .

$12 + \frac{1}{2} (8 - \frac{1}{2} \cdot 4) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Bước 7.4.8

Nhân $4$ với $- 1$ .

$12 + \frac{1}{2} (8 - 4 (\frac{1}{2})) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Bước 7.4.9

Kết hợp $- 4$ và $\frac{1}{2}$ .

$12 + \frac{1}{2} (8 + \frac{- 4}{2}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Bước 7.4.10

Triệt tiêu thừa số chung của $- 4$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.10.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 4$ .

$12 + \frac{1}{2} (8 + \frac{2 \cdot - 2}{2}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Bước 7.4.10.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.10.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$12 + \frac{1}{2} (8 + \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Bước 7.4.10.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$12 + \frac{1}{2} (8 + \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Bước 7.4.10.2.3

Viết lại biểu thức.

$12 + \frac{1}{2} (8 + \frac{- 2}{1}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Bước 7.4.10.2.4

Chia $- 2$ cho $1$ .

$12 + \frac{1}{2} (8 - 2) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Bước 7.4.11

Trừ $2$ khỏi $8$ .

$12 + \frac{1}{2} \cdot 6 - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Bước 7.4.12

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $6$ .

$12 + \frac{6}{2} - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Bước 7.4.13

Triệt tiêu thừa số chung của $6$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.13.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$12 + \frac{2 \cdot 3}{2} - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Bước 7.4.13.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.13.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$12 + \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Bước 7.4.13.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$12 + \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Bước 7.4.13.2.3

Viết lại biểu thức.

$12 + \frac{3}{1} - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Bước 7.4.13.2.4

Chia $3$ cho $1$ .

$12 + 3 - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Bước 7.4.14

Cộng $12$ và $3$ .

$15 - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Bước 7.4.15

Nâng $4$ lên lũy thừa $3$ .

$15 - \frac{1}{4} (\frac{1}{3} \cdot 64 - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Bước 7.4.16

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $64$ .

$15 - \frac{1}{4} (\frac{64}{3} - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Bước 7.4.17

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $3$ .

$15 - \frac{1}{4} (\frac{64}{3} - \frac{1}{3} \cdot - 8)$

Bước 7.4.18

Nhân $- 8$ với $- 1$ .

$15 - \frac{1}{4} (\frac{64}{3} + 8 (\frac{1}{3}))$

Bước 7.4.19

Kết hợp $8$ và $\frac{1}{3}$ .

$15 - \frac{1}{4} (\frac{64}{3} + \frac{8}{3})$

Bước 7.4.20

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$15 - \frac{1}{4} \cdot \frac{64 + 8}{3}$

Bước 7.4.21

Cộng $64$ và $8$ .

$15 - \frac{1}{4} \cdot \frac{72}{3}$

Bước 7.4.22

Triệt tiêu thừa số chung của $72$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.22.1

Đưa $3$ ra ngoài $72$ .

$15 - \frac{1}{4} \cdot \frac{3 \cdot 24}{3}$

Bước 7.4.22.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.22.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$15 - \frac{1}{4} \cdot \frac{3 \cdot 24}{3 (1)}$

Bước 7.4.22.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$15 - \frac{1}{4} \cdot \frac{3 \cdot 24}{3 \cdot 1}$

Bước 7.4.22.2.3

Viết lại biểu thức.

$15 - \frac{1}{4} \cdot \frac{24}{1}$

Bước 7.4.22.2.4

Chia $24$ cho $1$ .

$15 - \frac{1}{4} \cdot 24$

Bước 7.4.23

Nhân $24$ với $- 1$ .

$15 - 24 (\frac{1}{4})$

Bước 7.4.24

Kết hợp $- 24$ và $\frac{1}{4}$ .

$15 + \frac{- 24}{4}$

Bước 7.4.25

Triệt tiêu thừa số chung của $- 24$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.25.1

Đưa $4$ ra ngoài $- 24$ .

$15 + \frac{4 \cdot - 6}{4}$

Bước 7.4.25.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.25.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$15 + \frac{4 \cdot - 6}{4 (1)}$

Bước 7.4.25.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$15 + \frac{4 \cdot - 6}{4 \cdot 1}$

Bước 7.4.25.2.3

Viết lại biểu thức.

$15 + \frac{- 6}{1}$

Bước 7.4.25.2.4

Chia $- 6$ cho $1$ .

$15 - 6$

Bước 7.4.26

Trừ $6$ khỏi $15$ .

$9$

Bước 8