Giải tích Ví dụ

$\int_{1}^{3} \frac{6 x^{2}}{8 x^{3} + 1} d x$

Bước 1

Vì $6$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $6$ ra khỏi tích phân.

$6 \int_{1}^{3} \frac{x^{2}}{8 x^{3} + 1} d x$

Bước 2

Viết lại $x^{3}$ ở dạng ${(x^{3})}^{1}$ .

$6 \int_{1}^{3} \frac{x^{2}}{8 {(x^{3})}^{1} + 1} d x$

Bước 3

Giả sử $u_{1} = x^{3}$ . Sau đó $d u_{1} = 3 x^{2} d x$ , nên $\frac{1}{3} d u_{1} = x^{2} d x$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Hãy đặt $u_{1} = x^{3}$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Tính đạo hàm $x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 3.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$3 x^{2}$

Bước 3.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u_{1} = x^{3}$ .

$u_{lower} = 1^{3}$

Bước 3.3

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$u_{lower} = 1$

Bước 3.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u_{1} = x^{3}$ .

$u_{upper} = 3^{3}$

Bước 3.5

Nâng $3$ lên lũy thừa $3$ .

$u_{upper} = 27$

Bước 3.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 27$

Bước 3.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ , $d u_{1}$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$6 \int_{1}^{27} \frac{1}{8 {u_{1}}^{1} + 1} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Rút gọn.

$6 \int_{1}^{27} \frac{1}{8 u_{1} + 1} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}$

Bước 4.2

Nhân $\frac{1}{8 u_{1} + 1}$ với $\frac{1}{3}$ .

$6 \int_{1}^{27} \frac{1}{(8 u_{1} + 1) \cdot 3} d u_{1}$

Bước 4.3

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $8 u_{1} + 1$ .

$6 \int_{1}^{27} \frac{1}{3 (8 u_{1} + 1)} d u_{1}$

Bước 5

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$6 (\frac{1}{3} \int_{1}^{27} \frac{1}{8 u_{1} + 1} d u_{1})$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $6$ .

$\frac{6}{3} \int_{1}^{27} \frac{1}{8 u_{1} + 1} d u_{1}$

Bước 6.2

Triệt tiêu thừa số chung của $6$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $6$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3} \int_{1}^{27} \frac{1}{8 u_{1} + 1} d u_{1}$

Bước 6.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3 (1)} \int_{1}^{27} \frac{1}{8 u_{1} + 1} d u_{1}$

Bước 6.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} \int_{1}^{27} \frac{1}{8 u_{1} + 1} d u_{1}$

Bước 6.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{2}{1} \int_{1}^{27} \frac{1}{8 u_{1} + 1} d u_{1}$

Bước 6.2.2.4

Chia $2$ cho $1$ .

$2 \int_{1}^{27} \frac{1}{8 u_{1} + 1} d u_{1}$

Bước 7

Giả sử $u_{2} = 8 u_{1} + 1$ . Sau đó $d u_{2} = 8 d u_{1}$ , nên $\frac{1}{8} d u_{2} = d u_{1}$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Hãy đặt $u_{2} = 8 u_{1} + 1$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Tính đạo hàm $8 u_{1} + 1$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [8 u_{1} + 1]$

Bước 7.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $8 u_{1} + 1$ đối với $u_{1}$ là $\frac{d}{d u_{1}} [8 u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [8 u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Bước 7.1.3

Tính $\frac{d}{d u_{1}} [8 u_{1}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.3.1

Vì $8$ không đổi đối với $u_{1}$ , nên đạo hàm của $8 u_{1}$ đối với $u_{1}$ là $8 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$8 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Bước 7.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$8 \cdot 1 + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Bước 7.1.3.3

Nhân $8$ với $1$ .

$8 + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Bước 7.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.4.1

Vì $1$ là hằng số đối với $u_{1}$ , đạo hàm của $1$ đối với $u_{1}$ là $0$ .

$8 + 0$

Bước 7.1.4.2

Cộng $8$ và $0$ .

$8$

Bước 7.2

Thay giới hạn dưới vào cho $u_{1}$ trong $u_{2} = 8 u_{1} + 1$ .

$u_{lower} = 8 \cdot 1 + 1$

Bước 7.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Nhân $8$ với $1$ .

$u_{lower} = 8 + 1$

Bước 7.3.2

Cộng $8$ và $1$ .

$u_{lower} = 9$

Bước 7.4

Thay giới hạn trên vào cho $u_{1}$ trong $u_{2} = 8 u_{1} + 1$ .

$u_{upper} = 8 \cdot 27 + 1$

Bước 7.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.1

Nhân $8$ với $27$ .

$u_{upper} = 216 + 1$

Bước 7.5.2

Cộng $216$ và $1$ .

$u_{upper} = 217$

Bước 7.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 9$

$u_{upper} = 217$

Bước 7.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ , $d u_{2}$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$2 \int_{9}^{217} \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{8} d u_{2}$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Nhân $\frac{1}{u_{2}}$ với $\frac{1}{8}$ .

$2 \int_{9}^{217} \frac{1}{u_{2} \cdot 8} d u_{2}$

Bước 8.2

Di chuyển $8$ sang phía bên trái của $u_{2}$ .

$2 \int_{9}^{217} \frac{1}{8 u_{2}} d u_{2}$

Bước 9

Vì $\frac{1}{8}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{8}$ ra khỏi tích phân.

$2 (\frac{1}{8} \int_{9}^{217} \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Kết hợp $\frac{1}{8}$ và $2$ .

$\frac{2}{8} \int_{9}^{217} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Bước 10.2

Triệt tiêu thừa số chung của $2$ và $8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 (1)}{8} \int_{9}^{217} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Bước 10.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $8$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4} \int_{9}^{217} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Bước 10.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4} \int_{9}^{217} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Bước 10.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{4} \int_{9}^{217} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Bước 11

Tích phân của $\frac{1}{u_{2}}$ đối với $u_{2}$ là $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{4} \ln (| u_{2} |)]_{9}^{217}$

Bước 12

Tính $\ln (| u_{2} |)$ tại $217$ và tại $9$ .

$\frac{1}{4} (\ln (| 217 |) - \ln (| 9 |))$

Bước 13

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{4} \ln (\frac{| 217 |}{| 9 |})$

Bước 13.2

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $\ln (\frac{| 217 |}{| 9 |})$ .

$\frac{\ln (\frac{| 217 |}{| 9 |})}{4}$

Bước 14

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $217$ là $217$ .

$\frac{\ln (\frac{217}{| 9 |})}{4}$

Bước 14.2

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $9$ là $9$ .

$\frac{\ln (\frac{217}{9})}{4}$

Bước 15

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{\ln (\frac{217}{9})}{4}$

Dạng thập phân:

$0.79566819 \dots$

Bước 16