Giải tích Ví dụ

$\int \sqrt{9 x^{4} - 6 x^{2} + 1} d x$

Bước 1

Giả sử $x = \frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t)$ , trong đó $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Sau đó $d x = \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$ . Lưu ý rằng vì $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , nên $\frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3}$ dương.

$\int \sqrt{9 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{4} - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Bước 2

Rút gọn $\sqrt{9 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{4} - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Nhân $\frac{1}{\sqrt{3}}$ với $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\int \sqrt{9 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{4} - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Bước 2.1.2

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Nhân $\frac{1}{\sqrt{3}}$ với $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\int \sqrt{9 {(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} \sec (t))}^{4} - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Bước 2.1.2.2

Nâng $\sqrt{3}$ lên lũy thừa $1$ .

$\int \sqrt{9 {(\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} \sec (t))}^{4} - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Bước 2.1.2.3

Nâng $\sqrt{3}$ lên lũy thừa $1$ .

$\int \sqrt{9 {(\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} \sec (t))}^{4} - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Bước 2.1.2.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int \sqrt{9 {(\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} \sec (t))}^{4} - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Bước 2.1.2.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\int \sqrt{9 {(\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} \sec (t))}^{4} - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Bước 2.1.2.6

Viết lại ${\sqrt{3}}^{2}$ ở dạng $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3}$ ở dạng $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \sqrt{9 {(\frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} \sec (t))}^{4} - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Bước 2.1.2.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \sqrt{9 {(\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \sec (t))}^{4} - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Bước 2.1.2.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\int \sqrt{9 {(\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} \sec (t))}^{4} - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Bước 2.1.2.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \sqrt{9 {(\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} \sec (t))}^{4} - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Bước 2.1.2.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$\int \sqrt{9 {(\frac{\sqrt{3}}{3^{1}} \sec (t))}^{4} - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Bước 2.1.2.6.5

Tính số mũ.

$\int \sqrt{9 {(\frac{\sqrt{3}}{3} \sec (t))}^{4} - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Bước 2.1.3

Kết hợp $\frac{\sqrt{3}}{3}$ và $\sec (t)$ .

$\int \sqrt{9 {(\frac{\sqrt{3} \sec (t)}{3})}^{4} - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Bước 2.1.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ để phân phối các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.4.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{\sqrt{3} \sec (t)}{3}$ .

$\int \sqrt{9 \frac{{(\sqrt{3} \sec (t))}^{4}}{3^{4}} - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Bước 2.1.4.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\sqrt{3} \sec (t)$ .

$\int \sqrt{9 \frac{{\sqrt{3}}^{4} \sec^{4} (t)}{3^{4}} - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Bước 2.1.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.5.1

Viết lại ${\sqrt{3}}^{4}$ ở dạng $3^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.5.1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3}$ ở dạng $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \sqrt{9 \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{4} \sec^{4} (t)}{3^{4}} - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Bước 2.1.5.1.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \sqrt{9 \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 4} \sec^{4} (t)}{3^{4}} - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Bước 2.1.5.1.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $4$ .

$\int \sqrt{9 \frac{3^{\frac{4}{2}} \sec^{4} (t)}{3^{4}} - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Bước 2.1.5.1.4

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.5.1.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\int \sqrt{9 \frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2}} \sec^{4} (t)}{3^{4}} - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Bước 2.1.5.1.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.5.1.4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\int \sqrt{9 \frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} \sec^{4} (t)}{3^{4}} - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Bước 2.1.5.1.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \sqrt{9 \frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} \sec^{4} (t)}{3^{4}} - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Bước 2.1.5.1.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$\int \sqrt{9 \frac{3^{\frac{2}{1}} \sec^{4} (t)}{3^{4}} - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Bước 2.1.5.1.4.2.4

Chia $2$ cho $1$ .

$\int \sqrt{9 \frac{3^{2} \sec^{4} (t)}{3^{4}} - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Bước 2.1.5.2

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$\int \sqrt{9 \frac{9 \sec^{4} (t)}{3^{4}} - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Bước 2.1.6

Nâng $3$ lên lũy thừa $4$ .

$\int \sqrt{9 \frac{9 \sec^{4} (t)}{81} - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Bước 2.1.7

Triệt tiêu thừa số chung $9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.7.1

Đưa $9$ ra ngoài $81$ .

$\int \sqrt{9 \frac{9 \sec^{4} (t)}{9 (9)} - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Bước 2.1.7.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \sqrt{9 \frac{9 \sec^{4} (t)}{9 \cdot 9} - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Bước 2.1.7.3

Viết lại biểu thức.

$\int \sqrt{\frac{9 \sec^{4} (t)}{9} - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Bước 2.1.8

Triệt tiêu thừa số chung $9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.8.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \sqrt{\frac{9 \sec^{4} (t)}{9} - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Bước 2.1.8.2

Chia $\sec^{4} (t)$ cho $1$ .

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Bước 2.1.9

Nhân $\frac{1}{\sqrt{3}}$ với $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Bước 2.1.10

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.10.1

Nhân $\frac{1}{\sqrt{3}}$ với $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) - 6 {(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Bước 2.1.10.2

Nâng $\sqrt{3}$ lên lũy thừa $1$ .

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) - 6 {(\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Bước 2.1.10.3

Nâng $\sqrt{3}$ lên lũy thừa $1$ .

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) - 6 {(\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Bước 2.1.10.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) - 6 {(\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Bước 2.1.10.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) - 6 {(\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Bước 2.1.10.6

Viết lại ${\sqrt{3}}^{2}$ ở dạng $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.10.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3}$ ở dạng $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) - 6 {(\frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Bước 2.1.10.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) - 6 {(\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Bước 2.1.10.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) - 6 {(\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Bước 2.1.10.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.10.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) - 6 {(\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Bước 2.1.10.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) - 6 {(\frac{\sqrt{3}}{3^{1}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Bước 2.1.10.6.5

Tính số mũ.

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) - 6 {(\frac{\sqrt{3}}{3} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Bước 2.1.11

Kết hợp $\frac{\sqrt{3}}{3}$ và $\sec (t)$ .

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) - 6 {(\frac{\sqrt{3} \sec (t)}{3})}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Bước 2.1.12

Sử dụng quy tắc lũy thừa ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ để phân phối các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.12.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{\sqrt{3} \sec (t)}{3}$ .

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) - 6 \frac{{(\sqrt{3} \sec (t))}^{2}}{3^{2}} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Bước 2.1.12.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\sqrt{3} \sec (t)$ .

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) - 6 \frac{{\sqrt{3}}^{2} \sec^{2} (t)}{3^{2}} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Bước 2.1.13

Viết lại ${\sqrt{3}}^{2}$ ở dạng $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.13.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3}$ ở dạng $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) - 6 \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} \sec^{2} (t)}{3^{2}} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Bước 2.1.13.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) - 6 \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sec^{2} (t)}{3^{2}} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Bước 2.1.13.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) - 6 \frac{3^{\frac{2}{2}} \sec^{2} (t)}{3^{2}} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Bước 2.1.13.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.13.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) - 6 \frac{3^{\frac{2}{2}} \sec^{2} (t)}{3^{2}} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Bước 2.1.13.4.2

Viết lại biểu thức.

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) - 6 \frac{3^{1} \sec^{2} (t)}{3^{2}} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Bước 2.1.13.5

Tính số mũ.

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) - 6 \frac{3 \sec^{2} (t)}{3^{2}} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Bước 2.1.14

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) - 6 \frac{3 \sec^{2} (t)}{9} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Bước 2.1.15

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.15.1

Đưa $3$ ra ngoài $- 6$ .

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) + 3 (- 2) \frac{3 \sec^{2} (t)}{9} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Bước 2.1.15.2

Đưa $3$ ra ngoài $9$ .

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) + 3 \cdot - 2 \frac{3 \sec^{2} (t)}{3 \cdot 3} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Bước 2.1.15.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) + 3 \cdot - 2 \frac{3 \sec^{2} (t)}{3 \cdot 3} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Bước 2.1.15.4

Viết lại biểu thức.

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) - 2 \frac{3 \sec^{2} (t)}{3} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Bước 2.1.16

Kết hợp $- 2$ và $\frac{3 \sec^{2} (t)}{3}$ .

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) + \frac{- 2 (3 \sec^{2} (t))}{3} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Bước 2.1.17

Nhân $3$ với $- 2$ .

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) + \frac{- 6 \sec^{2} (t)}{3} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Bước 2.1.18

Triệt tiêu thừa số chung của $- 6$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.18.1

Đưa $3$ ra ngoài $- 6 \sec^{2} (t)$ .

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) + \frac{3 (- 2 \sec^{2} (t))}{3} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Bước 2.1.18.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.18.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) + \frac{3 (- 2 \sec^{2} (t))}{3 (1)} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Bước 2.1.18.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) + \frac{3 (- 2 \sec^{2} (t))}{3 \cdot 1} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Bước 2.1.18.2.3

Viết lại biểu thức.

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) + \frac{- 2 \sec^{2} (t)}{1} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Bước 2.1.18.2.4

Chia $- 2 \sec^{2} (t)$ cho $1$ .

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) - 2 \sec^{2} (t) + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Bước 2.2

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc số chính phương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Viết lại $\sec^{4} (t)$ ở dạng ${(\sec^{2} (t))}^{2}$ .

$\int \sqrt{{(\sec^{2} (t))}^{2} - 2 \sec^{2} (t) + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Bước 2.2.2

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\int \sqrt{{(\sec^{2} (t))}^{2} - 2 \sec^{2} (t) + 1^{2}} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Bước 2.2.3

Kiểm tra xem số hạng ở giữa có gấp đôi tích của các số trước khi được bình phương ở số hạng thứ nhất và số hạng thứ ba không.

$2 \sec^{2} (t) = 2 \cdot \sec^{2} (t) \cdot 1$

Bước 2.2.4

Viết lại đa thức này.

$\int \sqrt{{(\sec^{2} (t))}^{2} - 2 \cdot \sec^{2} (t) \cdot 1 + 1^{2}} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Bước 2.2.5

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc tam thức chính phương $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , trong đó $a = \sec^{2} (t)$ và $b = 1$ .

$\int \sqrt{{(\sec^{2} (t) - 1)}^{2}} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Bước 2.3

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\int (\sec^{2} (t) - 1) \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Bước 3

Giả sử $u = \sec (t)$ . Sau đó $d u = \sec (t) \tan (t) d t$ , nên $\frac{1}{\sec (t) \tan (t)} d u = d t$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Hãy đặt $u = \sec (t)$ . Tìm $\frac{d u}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Tính đạo hàm $\sec (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\sec (t)]$

Bước 3.1.2

Đạo hàm của $\sec (t)$ đối với $t$ là $\sec (t) \tan (t)$ .

$\sec (t) \tan (t)$

Bước 3.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int (u^{2} - 1) \frac{\sqrt{3}}{3} d u$

Bước 4

Nhân $(u^{2} - 1) \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\int u^{2} \frac{\sqrt{3}}{3} - 1 \frac{\sqrt{3}}{3} d u$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Kết hợp $u^{2}$ và $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\int \frac{u^{2} \sqrt{3}}{3} - 1 \frac{\sqrt{3}}{3} d u$

Bước 5.2

Viết lại $- 1 \frac{\sqrt{3}}{3}$ ở dạng $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\int \frac{u^{2} \sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} d u$

Bước 6

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int \frac{u^{2} \sqrt{3}}{3} d u + \int - \frac{\sqrt{3}}{3} d u$

Bước 7

Vì $\frac{\sqrt{3}}{3}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{\sqrt{3}}{3} \int u^{2} d u + \int - \frac{\sqrt{3}}{3} d u$

Bước 8

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{2}$ đối với $u$ là $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{3} (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int - \frac{\sqrt{3}}{3} d u$

Bước 9

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{\sqrt{3}}{3} (\frac{1}{3} u^{3} + C) - \frac{\sqrt{3}}{3} u + C$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Rút gọn.

$\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3} u^{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} u + C$

Bước 10.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Nhân $\frac{\sqrt{3}}{3}$ với $\frac{1}{3}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{3 \cdot 3} u^{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} u + C$

Bước 10.2.2

Nhân $3$ với $3$ .

$\frac{\sqrt{3}}{9} u^{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} u + C$

Bước 11

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\sec (t)$ .

$\frac{\sqrt{3}}{9} \sec^{3} (t) - \frac{\sqrt{3}}{3} \sec (t) + C$

Bước 11.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $t$ với $arcsec (\sqrt{3} x)$ .

$\frac{\sqrt{3}}{9} \sec^{3} (arcsec (\sqrt{3} x)) - \frac{\sqrt{3}}{3} \sec (arcsec (\sqrt{3} x)) + C$