Giải tích Ví dụ

$\int_{1}^{e} \frac{4 x^{3} - 3 x}{x^{2}} d x$

Bước 1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Đưa $x$ ra ngoài $4 x^{3} - 3 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Đưa $x$ ra ngoài $4 x^{3}$ .

$\int_{1}^{e} \frac{x (4 x^{2}) - 3 x}{x^{2}} d x$

Bước 1.1.2

Đưa $x$ ra ngoài $- 3 x$ .

$\int_{1}^{e} \frac{x (4 x^{2}) + x \cdot - 3}{x^{2}} d x$

Bước 1.1.3

Đưa $x$ ra ngoài $x (4 x^{2}) + x \cdot - 3$ .

$\int_{1}^{e} \frac{x (4 x^{2} - 3)}{x^{2}} d x$

Bước 1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$\int_{1}^{e} \frac{x (4 x^{2} - 3)}{x \cdot x} d x$

Bước 1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int_{1}^{e} \frac{x (4 x^{2} - 3)}{x \cdot x} d x$

Bước 1.2.3

Viết lại biểu thức.

$\int_{1}^{e} \frac{4 x^{2} - 3}{x} d x$

Bước 2

Chia $4 x^{2} - 3$ cho $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập các đa thức được chia. Nếu không có đủ số hạng cho mọi số mũ, hãy chèn một số hạng có giá trị $0$ .

$x$

$0$

$4 x^{2}$

$0 x$

$3$

Bước 2.2

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $4 x^{2}$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $x$ .

					$4 x$
	$x$	+	$0$		$4 x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$

Bước 2.3

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

				$4 x$
$x$	+	$0$		$4 x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$
			+	$4 x^{2}$	+	$0$

Bước 2.4

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $4 x^{2} + 0$

				$4 x$
$x$	+	$0$		$4 x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$
			-	$4 x^{2}$	-	$0$

Bước 2.5

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

				$4 x$
$x$	+	$0$		$4 x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$
			-	$4 x^{2}$	-	$0$
						$0$

Bước 2.6

Đưa số hạng tiếp theo từ biểu thức bị chia ban đầu xuống dưới biểu thức bị chia hiện tại.

				$4 x$
$x$	+	$0$		$4 x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$
			-	$4 x^{2}$	-	$0$
						$0$	-	$3$

Bước 2.7

Đáp án cuối cùng là thương cộng với phần còn lại trên số chia.

$\int_{1}^{e} 4 x - \frac{3}{x} d x$

Bước 3

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{1}^{e} 4 x d x + \int_{1}^{e} - \frac{3}{x} d x$

Bước 4

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$4 \int_{1}^{e} x d x + \int_{1}^{e} - \frac{3}{x} d x$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{e}) + \int_{1}^{e} - \frac{3}{x} d x$

Bước 6

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{e}) + \int_{1}^{e} - \frac{3}{x} d x$

Bước 7

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{e}) - \int_{1}^{e} \frac{3}{x} d x$

Bước 8

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{e}) - (3 \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x)$

Bước 9

Nhân $3$ với $- 1$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{e}) - 3 \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

Bước 10

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{e}) - 3 (\ln (| x |)]_{1}^{e})$

Bước 11

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.1

Tính $\frac{x^{2}}{2}$ tại $e$ và tại $1$ .

$4 ((\frac{e^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}) - 3 (\ln (| x |)]_{1}^{e})$

Bước 11.1.2

Tính $\ln (| x |)$ tại $e$ và tại $1$ .

$4 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$

Bước 11.1.3

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$4 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2}) - 3 (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$

Bước 11.2

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$4 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2}) - 3 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

Bước 11.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$4 \frac{e^{2}}{2} + 4 (- \frac{1}{2}) - 3 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

Bước 11.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$2 (2) \frac{e^{2}}{2} + 4 (- \frac{1}{2}) - 3 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

Bước 11.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \cdot 2 \frac{e^{2}}{2} + 4 (- \frac{1}{2}) - 3 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

Bước 11.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$2 e^{2} + 4 (- \frac{1}{2}) - 3 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

Bước 11.3.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.3.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{2}$ vào tử số.

$2 e^{2} + 4 (\frac{- 1}{2}) - 3 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

Bước 11.3.3.2

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$2 e^{2} + 2 (2) \frac{- 1}{2} - 3 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

Bước 11.3.3.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 e^{2} + 2 \cdot 2 \frac{- 1}{2} - 3 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

Bước 11.3.3.4

Viết lại biểu thức.

$2 e^{2} + 2 \cdot - 1 - 3 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

Bước 11.3.4

Nhân $2$ với $- 1$ .

$2 e^{2} - 2 - 3 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

Bước 11.3.5

$e$ xấp xỉ $2.71828182$ , là một số dương, nên ta loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối

$2 e^{2} - 2 - 3 \ln (\frac{e}{| 1 |})$

Bước 11.3.6

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$2 e^{2} - 2 - 3 \ln (\frac{e}{1})$

Bước 11.3.7

Chia $e$ cho $1$ .

$2 e^{2} - 2 - 3 \ln (e)$

Bước 11.3.8

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$2 e^{2} - 2 - 3 \cdot 1$

Bước 11.3.9

Nhân $- 3$ với $1$ .

$2 e^{2} - 2 - 3$

Bước 11.3.10

Trừ $3$ khỏi $- 2$ .

$2 e^{2} - 5$

Bước 12

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$2 e^{2} - 5$

Dạng thập phân:

$9.77811219 \dots$

Bước 13