Giải tích Ví dụ

$\int 12 \sqrt[3]{\cos (x)} \sin (x) d x$

Bước 1

Vì $12$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $12$ ra khỏi tích phân.

$12 \int \sqrt[3]{\cos (x)} \sin (x) d x$

Bước 2

Giả sử $u = \cos (x)$ . Sau đó $d u = - \sin (x) d x$ , nên $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u = \cos (x)$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Bước 2.1.2

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Bước 2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$12 \int - \sqrt[3]{u} d u$

Bước 3

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$12 (- \int \sqrt[3]{u} d u)$

Bước 4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Nhân $- 1$ với $12$ .

$- 12 \int \sqrt[3]{u} d u$

Bước 4.2

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{3}}$ .

$- 12 \int u^{\frac{1}{3}} d u$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{\frac{1}{3}}$ đối với $u$ là $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ .

$- 12 (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C)$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Viết lại $- 12 (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C)$ ở dạng $- 12 (\frac{3}{4}) u^{\frac{4}{3}} + C$ .

$- 12 (\frac{3}{4}) u^{\frac{4}{3}} + C$

Bước 6.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Kết hợp $- 12$ và $\frac{3}{4}$ .

$\frac{- 12 \cdot 3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$

Bước 6.2.2

Nhân $- 12$ với $3$ .

$\frac{- 36}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$

Bước 6.2.3

Triệt tiêu thừa số chung của $- 36$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.1

Đưa $4$ ra ngoài $- 36$ .

$\frac{4 \cdot - 9}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$

Bước 6.2.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$\frac{4 \cdot - 9}{4 (1)} u^{\frac{4}{3}} + C$

Bước 6.2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 \cdot - 9}{4 \cdot 1} u^{\frac{4}{3}} + C$

Bước 6.2.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 9}{1} u^{\frac{4}{3}} + C$

Bước 6.2.3.2.4

Chia $- 9$ cho $1$ .

$- 9 u^{\frac{4}{3}} + C$

Bước 7

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\cos (x)$ .

$- 9 {\cos (x)}^{\frac{4}{3}} + C$