Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{10} \frac{24 t}{2 t + 3} d t$

Bước 1

Vì $24$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $24$ ra khỏi tích phân.

$24 \int_{0}^{10} \frac{t}{2 t + 3} d t$

Bước 2

Chia $t$ cho $2 t + 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập các đa thức được chia. Nếu không có đủ số hạng cho mọi số mũ, hãy chèn một số hạng có giá trị $0$ .

$2 t$

$3$

$t$

$0$

Bước 2.2

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $t$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $2 t$ .

					$\frac{1}{2}$
	$2 t$	+	$3$		$t$	+	$0$

Bước 2.3

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

				$\frac{1}{2}$
$2 t$	+	$3$		$t$	+	$0$
			+	$t$	+	$\frac{3}{2}$

Bước 2.4

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $t + \frac{3}{2}$

				$\frac{1}{2}$
$2 t$	+	$3$		$t$	+	$0$
			-	$t$	-	$\frac{3}{2}$

Bước 2.5

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

				$\frac{1}{2}$
$2 t$	+	$3$		$t$	+	$0$
			-	$t$	-	$\frac{3}{2}$
					-	$\frac{3}{2}$

Bước 2.6

Đáp án cuối cùng là thương cộng với phần còn lại trên số chia.

$24 \int_{0}^{10} \frac{1}{2} - \frac{3}{2 (2 t + 3)} d t$

Bước 3

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$24 (\int_{0}^{10} \frac{1}{2} d t + \int_{0}^{10} - \frac{3}{2 (2 t + 3)} d t)$

Bước 4

Áp dụng quy tắc hằng số.

$24 (\frac{1}{2} t]_{0}^{10} + \int_{0}^{10} - \frac{3}{2 (2 t + 3)} d t)$

Bước 5

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $t$ .

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} + \int_{0}^{10} - \frac{3}{2 (2 t + 3)} d t)$

Bước 6

Vì $- 1$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - \int_{0}^{10} \frac{3}{2 (2 t + 3)} d t)$

Bước 7

Vì $\frac{3}{2}$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $\frac{3}{2}$ ra khỏi tích phân.

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - (\frac{3}{2} \int_{0}^{10} \frac{1}{2 t + 3} d t))$

Bước 8

Giả sử $u = 2 t + 3$ . Sau đó $d u = 2 d t$ , nên $\frac{1}{2} d u = d t$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Hãy đặt $u = 2 t + 3$ . Tìm $\frac{d u}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1

Tính đạo hàm $2 t + 3$ .

$\frac{d}{d t} [2 t + 3]$

Bước 8.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 t + 3$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [3]$ .

$\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [3]$

Bước 8.1.3

Tính $\frac{d}{d t} [2 t]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $2 t$ đối với $t$ là $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [3]$

Bước 8.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [3]$

Bước 8.1.3.3

Nhân $2$ với $1$ .

$2 + \frac{d}{d t} [3]$

Bước 8.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.4.1

Vì $3$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $3$ đối với $t$ là $0$ .

$2 + 0$

Bước 8.1.4.2

Cộng $2$ và $0$ .

$2$

Bước 8.2

Thay giới hạn dưới vào cho $t$ trong $u = 2 t + 3$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0 + 3$

Bước 8.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Nhân $2$ với $0$ .

$u_{lower} = 0 + 3$

Bước 8.3.2

Cộng $0$ và $3$ .

$u_{lower} = 3$

Bước 8.4

Thay giới hạn trên vào cho $t$ trong $u = 2 t + 3$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 10 + 3$

Bước 8.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.5.1

Nhân $2$ với $10$ .

$u_{upper} = 20 + 3$

Bước 8.5.2

Cộng $20$ và $3$ .

$u_{upper} = 23$

Bước 8.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 3$

$u_{upper} = 23$

Bước 8.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - \frac{3}{2} \int_{3}^{23} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u)$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Nhân $\frac{1}{u}$ với $\frac{1}{2}$ .

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - \frac{3}{2} \int_{3}^{23} \frac{1}{u \cdot 2} d u)$

Bước 9.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $u$ .

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - \frac{3}{2} \int_{3}^{23} \frac{1}{2 u} d u)$

Bước 10

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - \frac{3}{2} (\frac{1}{2} \int_{3}^{23} \frac{1}{u} d u))$

Bước 11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{3}{2}$ .

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - \frac{3}{2 \cdot 2} \int_{3}^{23} \frac{1}{u} d u)$

Bước 11.2

Nhân $2$ với $2$ .

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - \frac{3}{4} \int_{3}^{23} \frac{1}{u} d u)$

Bước 12

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - \frac{3}{4} \ln (| u |)]_{3}^{23})$

Bước 13

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Kết hợp $\ln (| u |)]_{3}^{23}$ và $\frac{3}{4}$ .

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - \frac{\ln (| u |)]_{3}^{23} \cdot 3}{4})$

Bước 13.2

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $\ln (| u |)]_{3}^{23}$ .

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - \frac{3 (\ln (| u |)]_{3}^{23})}{4})$

Bước 14

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Tính $\frac{t}{2}$ tại $10$ và tại $0$ .

$24 ((\frac{10}{2}) - \frac{0}{2} - \frac{3 (\ln (| u |)]_{3}^{23})}{4})$

Bước 14.2

Tính $\ln (| u |)$ tại $23$ và tại $3$ .

$24 ((\frac{10}{2}) - \frac{0}{2} - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

Bước 14.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.3.1

Triệt tiêu thừa số chung của $10$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.3.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $10$ .

$24 (\frac{2 \cdot 5}{2} - \frac{0}{2} - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

Bước 14.3.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.3.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$24 (\frac{2 \cdot 5}{2 (1)} - \frac{0}{2} - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

Bước 14.3.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$24 (\frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 1} - \frac{0}{2} - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

Bước 14.3.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$24 (\frac{5}{1} - \frac{0}{2} - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

Bước 14.3.1.2.4

Chia $5$ cho $1$ .

$24 (5 - \frac{0}{2} - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

Bước 14.3.2

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $0$ .

$24 (5 - \frac{2 (0)}{2} - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

Bước 14.3.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.3.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$24 (5 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

Bước 14.3.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$24 (5 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

Bước 14.3.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$24 (5 - \frac{0}{1} - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

Bước 14.3.2.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$24 (5 - 0 - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

Bước 14.3.3

Nhân $- 1$ với $0$ .

$24 (5 + 0 - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

Bước 14.3.4

Cộng $5$ và $0$ .

$24 (5 - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

Bước 14.3.5

Để viết $5$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$24 (5 \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |))}{4})$

Bước 14.3.6

Kết hợp $5$ và $\frac{4}{4}$ .

$24 (\frac{5 \cdot 4}{4} - \frac{3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |))}{4})$

Bước 14.3.7

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$24 \frac{5 \cdot 4 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |))}{4}$

Bước 14.3.8

Nhân $5$ với $4$ .

$24 \frac{20 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |))}{4}$

Bước 14.3.9

Kết hợp $24$ và $\frac{20 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |))}{4}$ .

$\frac{24 (20 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |)))}{4}$

Bước 14.3.10

Triệt tiêu thừa số chung của $24$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.3.10.1

Đưa $4$ ra ngoài $24 (20 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |)))$ .

$\frac{4 (6 (20 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |))))}{4}$

Bước 14.3.10.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.3.10.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$\frac{4 (6 (20 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |))))}{4 (1)}$

Bước 14.3.10.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 (6 (20 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |))))}{4 \cdot 1}$

Bước 14.3.10.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{6 (20 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |)))}{1}$

Bước 14.3.10.2.4

Chia $6 (20 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |)))$ cho $1$ .

$6 (20 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |)))$

Bước 15

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$6 (20 - 3 \ln (\frac{| 23 |}{| 3 |}))$

Bước 16

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $23$ là $23$ .

$6 (20 - 3 \ln (\frac{23}{| 3 |}))$

Bước 16.2

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $3$ là $3$ .

$6 (20 - 3 \ln (\frac{23}{3}))$

Bước 16.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$6 \cdot 20 + 6 (- 3 \ln (\frac{23}{3}))$

Bước 16.4

Nhân $6$ với $20$ .

$120 + 6 (- 3 \ln (\frac{23}{3}))$

Bước 16.5

Nhân $- 3$ với $6$ .

$120 - 18 \ln (\frac{23}{3})$

Bước 17

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$120 - 18 \ln (\frac{23}{3})$

Dạng thập phân:

$83.33612530 \dots$

Bước 18